研究生泛函分析总结.doc

研究生泛函分析总结.doc:..应用泛函分析总结1•距离空间的定义:设X是非空集合,若存在一个映射d:XXX-R,使得Vx,y,zgX,下列距离公理成立:(1)非负性:d(x,y)MO,d(x,y)二Oox二y;(2)对称性:d(x,y)=d(y,x);(3)三角不等式:d(x,y)Wd(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x与y的距离,X为以d为距离的距离空间,记作(X,d)・【两个定理的证明会考一个】设AuX,若A=A°,则称A为X中的开集;若A=A,则称A为X中的闭集。(开集与闭集的对偶性)开集的余集是闭集,闭集的余集是开集。证:设A为开集,则有6AU/T;再由A=A()UaA=AUA',W戸=(Ac)°U5(Ac)=AcU5(Ac)=Ac\JdA=Ac故"为闭集,若A为闭集,则由AQ=A\dA=A\dAt^\a(Ac)=ACP\(a(Ac))c=(Aud(Ac))c=(AUdA)c=(财=故"为开集。,有限个开集的交集是开集。证:设GqSwI)为开集,令G=JJGa,贝'JVxeG,3/?gI,使得xwG”。由G”为开集,知3r>0,使得BQ)uG0uG从而x为G的内点,故G为开集;又设G=p|GA,其中Gk(k=1,2,n)为开集,则VxeG,有xwG&(k二1,2,…,Jt=ln)•由开,知3r,>0,使得B,.(x)czGk,故取r=min{7;},则有\<k<nBr(x)op|G,=G,从而有x为G的内点,故G亦为开集。*=13•稠密性(掌握概念)设A,B是距离空间X的两个子集,则(1)A称为X中的稠集,若兔二X(2) A称为B的稠子集,若AuBuA(3) A称为在B中稠密,(基本列)(掌握概念)距离空间(X,d)中的点列(xj称为Cauchy列(或基本列),若VQO,3NeN,使当m,n>N时,有d(xm,xrt)<s(注意:od(x,”,兀“)一>0(->oo))(X,d)成为完备的,若X中的任一Cauchy列都收敛到X中的一点。(X,d)称为完备的,若中的任一Cauchy列都收敛到X中的一点。,若A中的任一点列都有收敛子列,则称A为列紧集;若A中的任一点列都有收敛于A的子列,则称A为紧集。7•压缩映射(重点例题)设(X,d)为距离空间,T:XtX是X到自身的一个自映射,若存在常数0(0<0<1),使对Vx,yeX,有d(Tx,Ty)W3d(x,y),则称T为X上的压缩映射。8•不动点对X上的自映射T,若3x*gX,使得T/=/,=(0,1/4]是R中的左开右闭区间,其上的距离按数的距离汗:XtX,定义为F(x)=x2r色wX,那么P(FCx),F(j))=|F(Q—F(y)|=F_>,2|s(R+M)k_Ts*Q(x』),Vx,yeX则F是X上的一个收缩映射课后例题1设X=[1,+oo)是R得子空间,T:XtX定义为Tx=-+-,证明:2xT是压缩映射并求出T的不动点。证明:设在X=[1,+00)上有(Tx)'=--^<-9故T是压缩映射2%22;令Tx=兀得兀=兰+丄,计算的x=±V2,故T在[1,+oo)上有唯一的不动点2xx*=V210・赋1[空间设X是数域K上的线性空间,若*丘乂,都有一个实数llxll与之对应,使得Vx,ygX,qgK,下列范数公理成立:(1)正定性:||x||NO,||x||=0ox=0(2)绝对齐次性:||ax||=|a|||x||⑶三角不等式:||x+y||W||x||+||y||则称l|x||为x的范数,X为K上的赋范空间,记作(X,||•||),定义||x||=|xL则(R,||•||)是赋范空间。证明:1°:有题知,显然有\x=x>0,且忖= 满足正定性2°:||ca||=\ax\=|a||x|=|a|||x||,满足绝对齐次性3°:设x,ygR,/.||x+y||=|x+y|<|x|+\y\,满足三角不等式,所以(R,II•II)是赋范空间。n =(xI?..„兀)e/?n,定义||X||p=(工I无丨1WpVoo,IIxII=,\<k<nA则(Z?n,ll・ll/,)(IWpWoo)均为赋范空间。证明:i:有题意得:显然凶厂(£也丨)心o,且Jt=ln P丄||X||/;=(工1无丨)"=0o无=0伙=1,2,../)满足正定性。k=\n P— nP丄 n"丄2:又因||qx