1.1.2导数的概念.doc

【教学课题】:§【教学目的】:能使学生深刻理解在一点处导数的概念,能准确表达其定义;明确其实际背景并给出物理、几何解释;能够从定义出发求某些函数在一点处的导数;明确一点处的导数与单侧导数、可导与连续的关系。【教学重点】:在一点处导数的定义。【教学难点】:在一点处导数的几种等价定义及其应用。【教学方法】:系统讲授,问题教学,多媒体的利用等。【教学过程】:导数的思想的历史回顾导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的,但导数作为微积分的最主要的概念,却是英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼兹(Leibniz)在研究力学与几何学的过程中建立起来的。二)两个来自物理学与几何学的问题的解决问题1(以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景)已知:自由落体运动方程为:,,求:落体在时刻()的瞬时速度。问题解决:设为的邻近时刻,则落体在时间段(或)上的平均速度为若时平均速度的极限存在,则极限为质点在时刻的瞬时速度。问题2(以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景)已知:曲线上点,求:点处切线的斜率。下面给出切线的一般定义;设曲线及曲线上的一点,如图,在外上另外取一点,作割线,当沿着趋近点时,如果割线绕点旋转而趋于极限位置,直线就称为曲线在点处的切线。问题解决:取在上附近一点,于是割线PQ的斜率为(为割线的倾角)当时,若上式极限存在,则极限(为割线的倾角)为点处的切线的斜率。上述两问题中,第一个是物理学的问题,后一个是几何学问题,分属不同的学科,但问题的解决都归结到求形如(1)的极限问题。事实上,在学****物理学时会发现,在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中,尽管其背景各不相同