等差数列专题培训讲学.docx

等差数列专题一、,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d=(n-m)d=,A,y组成等差数列,那么A叫做x和y的等差中项,如果A是x和y的等差中项,则A=.(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).(2)若{an}为等差数列,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.(5)S2n-1=(2n-1)an.(6)若n为偶数,则S偶-S奇=;若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).,则Sn=,或等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其前n项和公式为Sn=na1+=n2+n,数列{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn(A,B为常数).{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值,若a1<0,d>0,:Sn=a1+a2+a3+…+an,①Sn=an+an-1+…+a1,②①+②得:Sn=.两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元.(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1为同一常数;(2)等差中项法:验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)都成立;(3)通项公式法:验证an=pn+q;(4)前n项和公式法:验证Sn=An2+: 后两种方法只能用来判断是否为等差数列,:{an}中,a3=9,a9=3,则公差d的值为( ) .﹣{an}的通项公式是an=2n+5,则此数列是( ) ,,公差为5的等差数列 ,{an}中,a1=13,a3=12,若an=2,则n等于( ) ( ) .(2005•黑龙江)如果数列{an}是等差数列,则( ) +a8>a4++a8=a4++a8<a4+=a4a5考点1:等差数列的通项与前n项和题型1:已知等差数列的某些项,求某项【解题思路】给项求项问题,先考虑利用等差数列的性质,再考虑基本量法【例1】已知为等差数列,,则解:方法1:方法2:,方法3:令,则方法4:为等差数列,也成等差数列,设其公差为,则为首项,:为等差数列,三点共线对应练****1、已知为等差数列,(互不相等),、已知个数成等差数列,它们的和为,平方和为,:已知前项和及其某项,求项数.【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式求出及,代入可求项数;⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出,代入可求项数.【例2】已知为等差数列的前项和,,求解:设等差数列的首项为,公差为,则对应练****3、若一个等差数列的前4项和为36,后4项和为124,且所有项的和为780,,,:求等差数列的前n项和【解题思路】(1)利用求出,把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.(2)含绝对值符号的数列求和问题,要注意分类讨论.【例3】已知为等差数列的前项和,.(1);⑵求;⑶:,当时,,当时,,当时,,.由,得,当时,;当时,.(1);⑵;(3)时,,当时,对应练****5、已知为等差数列的前项和,,:证明数列是等差数列【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有:1、定义法:(,是常数)是等差数列;2、中项法:()是等差数列;3、通项公式法:(是常数)是等差数列;4、项和公式法:(是常数,)是等差数列.【例4】已知为等差数列的前项和,.求证::方法