线性代数第五习题答案详细讲解.doc

n维向量空间****题一解:a-b=a+(-b)=(1,1,0)T+(0,-1,-1)T=(1,0,-1)T3a+2b-c=3a+2b+(-c)=(3,3,0)T+(0,2,2)T+(-3,-4,0)T=(0,1,2)T解:3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a)3a1+2a2+(-3+2)a=5a3+5a3a1+2a2+(-a)=5a3+5a3a1+2a2+(-a)+a+(-5)a3=5a3+5a+a+(-5)a33a1+2a2+(-5)a3=6a[3a1+2a2+(-5)a3]=´6aa1+a2+(-)a3=a将a1=(2,5,1,3)T,a2=(10,1,5,10)T,a3=(4,1,-1,1)T代入a=a1+a2+(-)a3中可得:a=(1,2,3,4)T.(1)(0,0,…,0)=(x1,x2,…,xn)V1,b=(y1,y2,…,yn)V1,则有x1+x2+…+xn=0,y1+y2+…+yn=(x1+y1)+(x2+y2)+…+(xn+yn)=(x1+x2+…+xn)+(y1+y2+…+yn)=0所以a+b=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn),有kx1+kx2+…+kxn=k(x1+x2+…+xn)=0所以ka=(kx1,kx2,…,kxn).(2)=(1,x2,…,xn)V2,b=(1,y2,…,yn)V2,但a+b=(2,x2+y2,…,xn+yn),a2,a3,a4的线性组合表达式:(1)解:设向量b关于向量组a1,a2,a3,a4的线性组合表达式为:b=k1a1+k2a2+k3a3+k4a4其中,k1,k2,k3,=(0,2,0,-1)T,a1=(1,1,1,1)T,a2=(1,1,1,0)T,a3=(1,1,0,0)T,a4=(1,0,0,0)T向量b关于向量组a1,a2,a3,a4的线性组合表达式中可得:(0,2,0,-1)T=k1(1,1,1,1)T+k2(1,1,1,0)T+k3(1,1,0,0)T+k4(1,0,0,0)T根据对分量相等可得下列线性方程组:解此方程组可得:k1=-1,k2=1,k3=2,k4=-,a2,a3,a4的线性组合表达式为:b=-a1+a2+2a3-2a4.(2)与(1)类似可有下列线性方程组:由方程组中的第一和第二个方程易解得:k2=4,于是依次可解得:k1=-2,k3=-9,k4=,a2,a3,a4的线性组合表达式为:b=-2a1+4a2-9a3+.(1)解:因为向量组中向量的个数大于每个向量的维数,由推论2知a1,a2,a3,a4线性相关.(2)解:因为所以a1,a2,a3线性无关.(3)解:因为所以a1,a2,a3线性相关.(4)解:因为所以a1,a2,:假设有常数k1,k2,k3,使k1b1+k2b2+k3b3=0又由于b1=a1,b2=a1+a2,b3=a1+a2+a3,于是可得k1a1+k2(a1+a2)+k3(a1+a2+a3)=0即(k1+k2+k3)a1+(k2+k3)a2+k3a3=0因为a1,a2,a3线性无关,所以有解得因此向量组b1,b2,,k2,k3,k4使k1b1+k2b2+k3b3+k4b4=0因为b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a4,b4=a4+a1于是可得:k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a4)+k4(a4+a1)=0整理得:(k1+k4)a1+(k2+k1)a2+(k2+k3)a3+(k3+k4)a4=0,(下用两种方法解)法一:因为a1,a2,a3,a4为同维向量,则当向量组a1,a2,a3,a4线性无关时,k1+k4=0,k2+k1=0,k2+k3=0,k3+k4=0可解得:k2=-k1,k4=-k1,k3=k1取k10可得不为0的常数k1,k2,k3,k4使k1b1+k2b2+k3b3+k4b4=0因此b1,b2,b3,b4线性相关。当向量组a1,a2,a3,a4线性相关时,k1+k4,k2+k1,k2+k3,k3+k4中至少存在一个不为0,因此易知k1,k2,k3,k4不全为0,于是可得b1,b2,b3,b4线性相关。法二:因为a1,a2,a3,a4为任意向量,所以当,而该方程组的系数矩阵对应的行列式,所以有非零解所以b1,b2,b3,b4线性相关。:假使向量组b1,b2,…,,k2,…,km,使:k1b1+k2b2+…+kmbm=0由