数列不等式证明的几种方法.doc

数列不等式证明的几种方法一、巧妙构造,,求证:。证明:构造数列。所以,即为单调递增数列。所以,即。点评:某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题,均可构造数列,通过数列的单调性解决。二、放缩自然,,数列的首项,以后每项按如下方式取定:曲线处的切线与经过(0,0)和两点的直线平行。求证:当时:(1);(2)。证明:(1)因为,所以曲线处的切线斜率为。又因为过点(0,0)和两点的斜率为,所以结论成立。(2)因为函数,所以,即,因此;又因为。令,且。所以因此,所以三、:证明:令,且当时,,所以。要证明原不等式,只须证。设,所以。令,所以。设,所以上为增函数所以,即所以同理可证所以。对上式中的n分别取1,2,3,…,,得。四、,且(1)求数列的首项,及通项;(2)设,证明。解:(1)首项(过程略)。(2)证明:将,得,则点评:本题通过对的变形,利用裂项求和法化为“连续相差”形式,从而达到证题目的五、独辟蹊径,灵活变通独辟蹊径指处事有独创的新方法,对问题不局限于一种思路和方法,而是善于灵活变通,独自开辟新思路、新方法。。设数列,数列满足(1)求证:;(2)求证:。证明:(1)证法1:由令,则只须证;易知,只须证。由分析法:。因为,,所以,得证。证法2:由于的两个不动点为。又,所以所以所以,由上可求得,因此只需证,即证:又(2)由(1)知,所以故对任意。点评:本题(1)中法1通过构造新数列,将复杂的问题转化为证数列为递减数列,进而用分析法展示出证明思路的魅力;法2则是独辟蹊径利用“不动点”,求出通项公式,借助二项式定理放缩给出证明。