线性方程组AX=B的数值计算方法实验.doc

线性方程组AX=B的数值计算方法实验线性方程组AX=B的数值计算方法实验【摘要】在自然科学与工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性代数方程组。例如电学中的网络问题,船体数学放样中建立三次样条函数问题,用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题,解非线性方程组的问题,用差分法或者有限元法解常微分方程,偏微分方程边值问题等都导致求解线性方程组。线性代数方面的计算方法就是研究求解线性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特征值及特征向量的数值方法。关于线性方程组的数值解法一般有两类:直接法和迭代法。关键字高斯消元法、三角分解法、高斯-赛德尔迭代、、三角分解法、高斯—赛德尔迭代发的编程技巧。=B的数值计算方法。。实验原理高斯消元法数学上,高斯消元法是线性代数规划中的一个算法,可用来为线性方程组求解。高斯(Gauss)夏鸥按法其实是将一般的线性方程组变换为三角形(上三角)方程组求解问题(消元法),只是步骤规范,便于编写计算机程序。一般高斯消元法包括两过程:先把方程组化为同解的上三角形方程组,再按相反顺序求解上三角方程组。前者称为消去或消元过程,后者称回代过程。消去过程实际上是对增广矩阵作行初等变换。对一般的n阶方程组,消去过程分n-1步:第一步消去下方元素。第二步消去下方元素,......,第n-1步消去下方元素。即第k步将第k行的适当倍数加于其后各行,或可说是从k+1~n行减去第k行的适当倍数,使它们第k列元素变为零,而其余列元素减去第k行对应列元素的倍数。三角分解法三角分解法是将原正方(square)矩阵分解成一个上三角形矩阵或是排列(permuted)的上三角形矩阵和一个下三角形矩阵,这样的分解法又称为LU分解法。它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程,求反矩阵,和求解联立方程组。不过要注意这种分解法所得到的上下三角形矩阵并非唯一,还可找到数个不同的一对上下三角形矩阵,此两三角形矩阵相乘也会得到原矩阵。高斯—赛德尔迭代高斯-赛德尔迭代(Gauss–Seidelmethod)是数值线性代数中的一个迭代法,可用来求出线性方程组解的近似值。研究雅可比迭代法,我们发现在逐个求的分量时,当计算到时,分量,......,都已经求得,而仍用旧分量,......,计算。由于新计算出的分量比旧分量准确些,因此设想一旦新分量,......,求出,马上就用新分量,......,代替雅可比迭代法中,......,来求这就是高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法。把矩阵A分解成(6)其中,分别为的主对角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程组(1)便可以写成即其中(7)以为迭代矩阵构成的迭代法(公式)(8)称为高斯—塞德尔迭代法(公式),用变量表示的形式为(9)稀疏矩阵矩阵中非零元素的个数远远小于矩阵元素的总数,并且非零元素的分布没有规律,则称该矩阵为稀疏矩阵(sparsematrix);与之相区别的是,如果非零元素的分布存在规律(如上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵),则称该矩阵为特殊矩阵。常见于进行大量数据计算。实验内容P1081许多科学应用包含的矩阵带有很多的零。在实际情况中很重要的三角形线性方程组有如下形式:d1x1+c1x2=b1a1x1+d2x2+c2x3=b2a2x2+d3x3+c3x4=b3············aN-2xN-2+dN-1xN--1xN=bN-1aN-1xN-1+dNxN=bN构造一个程序求解三角形线性方程组。可假定不需要行变换,而且可用第k行消去第k+1行的xk。P1201求解线性方程组AX=B,其中A=B=使用三角分解法求解X。P1202求解线性方程组AX=B,其中A=[aij]N×N,,aij=ij-1;而且B=[bij]N×1,b11=N,当i≥时,bij=(iN-1)/(i-1)。对N=3,7,11的情况分别求解。精确解为X=[11…11]’。对得到的结果与精确解的差异进行解释。P1203通过重复求解N各线性方程组ACJ=EJ,其中J=1,2,…,N来得到A-1,则A[]=[E1E2…EN]而且A-1=[]保证对LU分解只计算一次!,而且系数矩阵具有严格对角优势:d1x1+c1x2=b1a1x1+d2x2+c2x3=b2a2x2+d3x3+c3x4=b3············aN-2xN-2+dN-1xN--1xN=bN-1aN-1xN-1+dNxN=bN(i)根据方程组(1),式(2)和式(3),设计一个算法来求解上述方程组。算法必须有效地利用系数矩阵的稀疏性。a11x1+a12x2+···a1jxj+···+a1NxN=b1a21x1+a22x2+···a2jxj+···+a2Nx