八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球教师.doc

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(教师版)————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球一、:空间中到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫球面,:若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切,则称这个多面体是这个球的外切多面体,、:性质1:过球心的平面截球面所得圆是大圆,大圆的半径与球的半径相等;性质2:经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心,该平面截球所得圆是大圆;性质3:过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面(类比:圆的垂径定理);性质4:球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心;性质5:在同一球中,过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交,交点是球心(类比:在同圆中,两相交弦的中垂线交点是圆心).:结论1:长方体的外接球的球心在体对角线的交点处,即长方体的体对角线的中点是球心;结论2:若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点,则所得多面体与原长方体的外接球相同;结论3:长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心,换言之,就是:底面的一条对角线与一条高(棱)构成的直角三角形的外接圆是大圆;结论4:圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处;结论5:圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆,该矩形的对角线(外接圆直径)是球的直径;结论6:直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球;结论7:圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上;结论8:圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆,该三角形的外接圆直径是球的直径;结论9::勾股定理、正定理及余弦定理(解三角形求线段长度);三、,则切点与球心连线与切面垂直.(与直线切圆的结论有一致性).,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.(类比:与多边形的内切圆).,:(1)构造三角形利用相似比和勾股定理;(2)体积分割是求内切球半径的通用做法(等体积法).四、与台体相关的,、八大模型第一讲柱体背景的模型类型一、墙角模型(三条棱两两垂直,不找球心的位置即可求出球半径)方法:找三条两两垂直的线段,直接用公式,即,求出例1(1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为,体积为,则这个球的表面积是(C):,,,,选C;(2)若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的表面积是解:,;(3)在正三棱锥中,分别是棱的中点,且,若侧棱,:引理::如图(3)-1,取的中点,连接,交于,连接,则是底面正三角形的中心,平面,,,,,平面,,同理:,,即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图(3)-2,,,,,平面,,,,,平面,,故三棱锥的三棱条侧棱两两互相垂直,,即,正三棱锥外接球的表面积是.(4)在四面体中,,则该四面体的外接球的表面积为(D)解:在中,,,的外接球直径为,,,选D(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为、、,那么它的外接球的表面积是解:由已知得三条侧棱两两垂直,设三条侧棱长分别为(),则,,,,,,,(6)已知某几何体的三视图如图所示,三视图是腰长为的等腰直角三角形和边长为的正方形,则该几何体外接球的体积为解:,,,类型二、对棱相等模型(补形为长方体)题设:三棱锥(即四面体)中,已知三组对棱分别相等,求外接球半径(,,)第一步:画出一个长方体,标出三组互为异面直线的对棱;第二步:设出长方体的长宽高分别为,,,,列方程组,,补充:图2-1中,.第三步:根据墙角模型,,,,:如何求棱长为的正四面体体积,如何求其外接球体积?例2(1)如下图所示三棱锥,:对棱相等,补形为长方体,如图2-1,设长宽高分别为,,,,(2)在三棱锥中,,,,:如图2-1,设补形为长方体,三个长度为三对面的对角线长,设长宽高分别为,则,,,,,,(3)正四面体的各条棱长都为,则该正面体外接球的体积为解:正四面体对棱相等的模式,放入正方体中,,,(4)棱长为的正四面体的四个顶