最短路径问题专项练习.doc

最短路径问题专项练习.doc:..最短路径问题专项练****共13页,全面复****与联系最短路径问题一、具体内容包括:蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧血吃食问题;线段(之和)最短问题;二、原理:两点之间,线段最短;垂线段最短。(构建“对称模型”实现转化)(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,,点4,B分别是直线/异侧的两个点,在/上找一个点C,使CA+CB最短,这时点C是直线/与AB的交点.(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,,点4,B分别是直线/同侧的两个点,在/上找一个点C,使CA+CB最短,为了证明点C的位置即为所求,我们不妨在直线上另外任取一点C',连接AC',BC,B1C',证明AC+CB<AC,+:证明:由作图可知,点B和关于直线/对称,所以直线/'在直线/上,所以BC=B,C,BC'=B','C'中,AB!<AC'+B1C',所以AC+B1C<AC'+B'C,所以AC+BCVAC+CB.【例1】在图中直线/上找到一点M,使它到A,:先确定其中一个点关于直线/的对称点,然后连接对称点和另一个点,与直线/的交点M即「:如图所示:(1)作点B关于直线/的对称点B';(2)连接A"交直线/于点M.(3):运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,然后用“两点之间线段最短”,将所求线段之和转化为一条线段的长,是解决距离之和最小问题的基本思路,不论题目如何变化,运用时要抓住直线同旁有两点,这两点•到直线上某点的距离和最小•这个核心,、利用三角形的三边关系,,要认真审题,不要只注意图形而忽略题意要求,•,过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大,如果两点在一条直线的异侧时,过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小,都可以用三角形三边关系来推理说明,•的两个点的最短路径问题吋,可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零,,我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,从而作出最短路径的方法来解决问题.【例2】如图,小河边有两个村庄A,3, F⑴若要使厂部到4,B村的距离相等,则应选择在哪建厂?(2)若要使厂部到A,B两村的水管最短,应建在什么地方?分析:(1)到A,B两点距离相等,可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”,又要在河边,所以作AB的垂直平分线,与EF的交点即为符合条件的点.(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短,可联想到“两点之一间线段最短”,作A(或B)点关于EF的对称点,连接对称点与B点,:(1)如图I,取线段AB的中点G,过中点G画的垂线,交EF于P,则户到A,、B为圆心,以大于为半径画弧,两弧交于两点,过这两点作B交EF于则P到A,B的直线,与EF的交点P即为所求.(2)如图2,画出点A关于河岸EF的对称点A',连接"【例3】如图,从4地到B地经过一条小河(河岸平行),的桥,应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短?A图1思路导引:从A到B要走的路线是A-M-N-B,如图所示,而是定值,于是要使路程最短,只要AM+,平移MN到AC,从C到B应是余下的路程,连接BC的线段即为最短的,此时不难说明点N即为建桥位置,:(1)如图2,过点A作AC垂直于河岸,且使4C等于河宽.(2)连接BC与河岸的一边交于点N.(3)(或三角形两边之和大于第三边)可知,求距离之和最小问题,就是运用等量代换的方式,把