ch7.4 幂级数.ppt

在函数项级数中,有一类十分特殊的级数,它的每一项都是x的幂函数,§,(x-x0),幂级数(1)与(2)可相互转化,故下面主要讨论形式(1),有如下定义:,则称x0为幂级数(1)的若幂级数发散,则称x0为幂级数(1)在幂级数中,称全部收敛点构成的集合为幂级数(1),均可得一个收敛的数项级数,,幂级数的和是一个关于x的函数,,则对收敛域中任意注5怎样确定幂级数的收敛域呢?若幂级数满足则由比值判别法有则绝对收敛;发散;注4若幂级数的x,,,,注6求幂级数的收敛域的步骤是:(1)求出收敛半径得收敛区间为(-R,R).别弹勋竖揪肚缴者襟掀妥伊涵嘘按醇屯价塘弊***(2)判断x=±R时,幂级数和(3)(1)当R=0时,幂级数(2)当R=+∞时,幂级数(3)幂级数的收敛半径满足的敛散性;只在x=(-∞,+∞).对于一切x均收敛,0≤R<+∞.:下面考察x=±1时幂级数(1)的敛散性:当x=1时,幂级数(1)变为当x=-1时,幂级数(1)变为故原级数收敛域为[﹣1,1].是绝对收敛的;是收敛的;(﹣∞,﹢∞).注8我们所说的“求幂级数的收敛半径及收敛区域”都是如对标准幂级数而言的;但形非标准幂级数,下步骤求收敛半径和收敛区域:直接用上述方法求收敛半径和收敛区间,却不能而只能是采用如第(3)=2,收敛域[-2,2)端遇木寻私运镰孽凭疏肃翱僚驱***:用变量代换把它们化为标准幂级数如令变量代换第二步:求变换后的新的标准幂级数的收敛半径及收敛区间;第三步:将新的标准幂级数的收敛半径和收敛端点回代到变量代换中去,