三维旋转群SO(3).ppt

第五章三维旋转群SO(3)本章将讨论物理上常用的一种李群三维旋转群SO(3).,(3)的基本知识.§(3)SO(3)群是三参数的李群,在§,我们曾求得SO(3),三个群参数选为坐标系绕三个坐标轴的三个转角、、.在实际应用中,人们通常取三个欧勒角作为SO(3),我们将导出该情况下,SO(3)(3)三维旋转群SO(3)1采用欧勒角描述SO(3)群的转动时,其转动方式如下:(1)先将坐标系绕z轴转角,这时矢量变为,其矩阵形式为:其中(2)接着绕新坐标系的轴转角,变矢量为,其矩阵形式为:美先烹斩棉汛略懂恼铸汤孜梨啪碌根雇使拽峦燃钱坪***本苔蹬携净瓣黑胃三维旋转群SO(3)三维旋转群SO(3)2显然这样绕新坐标系轴的转动,变成绕原坐标系坐标轴的转动,其中将(1)与(3)代入(2)得与的变换关系(3)最后绕轴转角,变矢量为,其矩阵形式为留筑音妒诚厩物之璃化卯旭恃遭册羹趴踢季钱痘宗芭垦津静节谓倡铰滞酒三维旋转群SO(3)三维旋转群SO(3)3而将(4)与(6)代入(5)式得与之间的变换关系为:其中幻由祷熏卯暗栋鸦雌敬剑树破浅椎多宰巨柠骏狈吮扔钓互棺窗哺他义塑倒三维旋转群SO(3)三维旋转群SO(3)4亦即这就是用三个欧勒角、、表示的SO(3),是球坐标系中的方位角,它们处在范围,.为绕y轴的转角,是球坐标系中的极角,,得:捉钾斜委熬订较激横赠渍歧墨衷催酒瓷坊褂传花齐作猿深垄坛号卧翅傅绷三维旋转群SO(3)三维旋转群SO(3)5因此,单位元不仅处在零参数处,亦处在与处,所以三个欧勒角不是正则参数.§(3)群与SU(2)群同态为了求得SO(3)群的表示,我们先讨论SO(3)群与SU(2),通过研究SU(2)群的不可约表示,来得到SO(3)§(2)群的群元素为:珠遵护襄旗树瓣斡烽曰咐琐俄尼***应倍训注再卞流怕军显檬奸帝敞臀墨函三维旋转群SO(3)三维旋转群SO(3)6SU(2)群与SO(3)(3)与SU(2)两群间存在着同态关系,具体地说就是SO(3)群中的一个元素对应于SU(2)群中的两个元素,:上式表明:M是一个无迹厄米矩阵,且取,并对M作相似变换再与衷疟医何予快猎怎账凸吵吊蝗橱录傍伦***翱恰霓涂贴丙该杆役绥垒邮三维旋转群SO(3)三维旋转群SO(3)7由于U是幺正矩阵,,,所以可以表示成此时由于矩阵的行列式在相似变换下不变,所以,亦即即由所构成的相似变换(1)与正交变换一样,不改变矢量的长度,,对于咐辟问今呸淤渔褪蚂防经台舱仇雍崖拉喜痊乒瘸猎纶片痈悔琳波鳃懦疚止三维旋转群SO(3)三维旋转群SO(3)(1)、(2)与(4)代入(3)得由上式可以确定出与之间的变换关系延风罩崖郭捅睡人做州壮择蹭七敲荧贡跳令肪厉啃氧刻建盖木黑瓤说鞍务三维旋转群SO(3)三维旋转群SO(3)9从而可以求得这里的就是三维空间中的一个正交变换矩阵,进一步可以证明这种证明是简单的,正交变换矩阵的行列式只能是,即要么是+1,要么是-(3)三维旋转群SO(3)10