龙格库塔方法基本原理专题课件.ppt

由于实际运算只能完成有限项或有限步运算,因此要将有些需用极限或无穷过程进行的运算有限化,对无穷过程进行截断,这样产生的误差成为截断误差。根据实际情况建立的数学模型往往难以求解。通常需要通过近似替代,将所求解的数学模型简化为易求解的数值计算问题后再进行求解。数学模型的理论解与数值计算问题的精确解之间的误差称为截断误差。这是计算方法本身带来的误差,所以也成为方法误差。**得到高精度方法的一个直接想法是利用Taylor展开假设式y'=f(x,y)(a≤x≤b)中的f(x,y)充分光滑,将y(xi+1)在xi点作Taylor展开,若取右端不同的有限项作为y(xi+1)的近似值,就可得到计算y(xi+1)的各种不同截断误差的数值公式。例如:-库塔方法**其中P阶泰勒方法若取前三项,可得到截断误差为O(h3)的公式类似地,若取前P+1项作为y(xi+1)的近似值,便得到**显然p=1时,yi+1=yi+hf(xi,yi)它即为我们熟悉的Euler方法。当p≥2时,要利用泰勒方法就需要计算f(x,y)的高阶微商。这个计算量是很大的,尤其当f(x,y)较复杂时,其高阶导数会很复杂。因此,利用泰勒公式构造高阶公式是不实用的。但是泰勒级数展开法的基本思想是许多数值方法的基础。R-K方法不是直接使用Taylor级数,而是利用它的思想**龙格-库塔(R-K)法的基本思想Euler公式可改写成则yi+1的表达式与y(xi+1)的Taylor展开式的前两项完全相同,即局部截断误差为O(h2)。Runge-Kutta方法是一种高精度的单步法,简称R-K法**同理,改进Euler公式可改写成上述两组公式在形式上共同点:都是用f(x,y)在某些点上值的线性组合得出y(xi+1)的近似值yi+1,且增加计算的次数f(x,y)的次数,可提高截断误差的阶。如欧拉法:每步计算一次f(x,y)的值,为一阶方法。改进欧拉法需计算两次f(x,y)的值,为二阶方法。局部截断误差为O(h3)**于是可考虑用函数f(x,y)在若干点上的函数值的线性组合来构造近似公式,构造时要求近似公式在(xi,yi)处的Taylor展开式与解y(x)在xi处的Taylor展开式的前面几项重合,从而使近似公式达到所需要的阶数。既避免求高阶导数,又提高了计算方法精度的阶数。或者说,在[xi,xi+1]这一步内多计算几个点的斜率值,然后将其进行加权平均作为平均斜率,则可构造出更高精度的计算格式,这就是龙格—库塔(Runge-Kutta)法的基本思想。一般龙格-库塔方法的形式为**其中ai,bij,ci为待定参数,要求上式yi+1在点(xi,yi)处作Tailor展开,通过相同项的系数确定参数。称为P阶龙格-库塔方法。*Runge-Kutta方法的推导思想对于常微分方程的初值问题的解y=y(x),在区间[xi,xi+1]上使用微分中值定理,有即**引入记号就可得到相应的Runge-Kutta方法*