研究生入学考试数学二模拟试题参考答案.doc

年研究生入学考试数学二模拟试题参考答案一、填空题(本题共小题,每小题分,)().[解].()=.[解].()设,则=.题[解]..()设,,为常数),则=,=.[解]将看作的隐函数,于是,由,,:.:,两边对求偏导,得:,:.同理,可得:.()=.[解].()设,为三阶非零阵,且=,则.[解]由题设,..二、选择题(本题共小题,每小题分,满分分,每小题给出四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)()设取何值时函数是连续函数. (). (). (). ()不存在. [ ][解]要使在处连续,().()设具有二阶导数,若令,则可化为 (). ().().()[ ][解]..选().()曲线及轴所围图形面积为,则为(). (). (). (). [ ][解],()设二阶可导,且满足方程,又,则()在处取极大值. ()在处取极小值. ()在处不取极值. ()为拐点. [ ][解].令,,.选().()设函数满足条件:则 (). (). (). (). [ ][解].令,().()微分方程的特解为(). (). (). () [ ][解]..选().()设为三阶方阵,且,则为(). ()-. (). ()-. [ ][解]由题设,特征值:.的特征值为:,,.().()非齐次方程组中未知量个数为,方程个数为,,则()时,有解. ()时,有唯一解. ()时,有唯一解. ()时,有无穷解. [ ][解]由题设,,.选().三、解答题(本题共小题,满分分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)()(本题满分分).[解]..()(本题满分分)设在有定义,且,对,恒有,求.[解]令,由.,(*)①.②令为(*)的解,将其代入并整理,得:,.,得:.故.()(本题满分分) 设,在上连续,在上可导,且对于,恒有,且介于在内的两个零点之间,至少有一个零点.[解]设对,,.,令,在内成立,又,,在上连续,在内可导,,一个,.()(本题满分分) 设函数在内连续,且①证明:若为偶函数,则也是偶函数;②证明:若非增,则函数非减.[证明]①.故为偶函数.②.当时,,由非增,;当时,,由非增,;当时,.综上所述,.故非减.()(本题满分分)已知其中具有二阶连续偏导数,均为二阶可微函数,计算.[解],....()(本题满分分) 对一切实数,函数是连续的正函数,可导且,函数证明是单调增加的;求出使取最小值的值;③将函数的最小值作为的函数,它等于,求.[解].①..故单调增大.②令.③.(*)两边对求导,得:..由(*)可知,代入上式,得:.故.()(本题满分分)某冬日早晨下雪,以恒定速率持续不断地下,一扫雪机,从早点开始在路上扫雪,到点前进了,到点前进了,假设扫雪机每小时扫去积雪的体积