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概率论与数理统计论文.doc大数定律的研究比较摘要:弱人数定律:们努利人数定律、切比雪夫人数定律、马尔可夫人数定律。强大数定律:Borel强大数定律、Kolmogorov强大数定律。引言:生活中我们常常看到对于随机试验,似乎出现的结果很多次都跟概率不太一样。有的人所谓的运气好,就是说一些抽奖、选课抽签、猜拳等随机试验的时候经常能获得优势。那么可能有人疑问了,这些现象是不是与概率相违背,运气这种东西真的是存在的么?正文:早在高中学****概率的时候,老师就告诉我们,对于抛掷硕币实验,当重复的次数足够多的时候,正反面出现的次数基木上是一样多的。因为对于正常抛掷一次硬币实验,正反面出现的概率相等,均为1/2o从这个抛硬币试验中,可以得到更加一般的结论:"概率是频率的稳定值”。然而可能我们述是会有疑问,频率稳定于概率,什么情况下才称为稳定?总观来说频率值在概率值附近摆动,那么幅度多少为稳定。当然一次两次的实验小显然也不会有稳定的现象,那么样本容量为多人时可称为稳定呢?人数定律为我们给出了一个相对合理的解释。大数定律是一种描述当实验次数很人时所呈现的概率性质的定律,它不是经验规律而是在一些条件F严格证明了的定理。大数定律町分为弱大数定律和强大数定律,弱大数定律告诉我们频率依概率收敛于概率,伯努利最先研究这方而的问题,伯努利指出若》为n重们努利试验小事件A发住的次数,p为每次试验小事件A发生的概率,对于任意正数£有:这也就解释了为什么抛硕币试验中最终频率稳定于1/2To然而伯努利的大数定律适用范围比较窄,仅仅对于n重伯努利实验有效,数学家们乂研究出了其它形式的大数定律,切比雪夫指出:若<Xn}为一列两两不相关的随机变最序列,若每个人的方差存在,且有共同的上界,那么{Xn}服从人数定律,即对任意止数£有:(1JL1«I1P怙ry屮卜^=l切比雪夫大数定律比们努利人数定律具有更一•般的特性,适用于更一般的情况。切比雪夫人数定律为我们平时的抽样调杳提供了理论依据,随着样本容最n的增加,样本平均数将更加接近总体的平均数,从而可以用样本平均数來估计总体平均数。在概率论与数理统计的教材中,同时提到了马尔对夫大数定律,这是比切比雪夫人数定律所需条件更弱的一个弱大数定律。首先需介绍马尔可夫条件,马尔可夫人数定律:对于随机变量序列{X』若满足马尔可夫条件,则大数定律成立。显然地可以看出对于符合切比雪夫大数定律条件的随机变量数列,必然满足马尔可夫条件,但满足马尔可夫条件的不一定会满足切比雪夫人数定律成立所需要的条件。所以说马尔可夫人数定律比切比雪夫人数定律更加具有一般性,最后关于弱大数定律还得捉到辛钦大数定律,辛钦大数定律指出:设<Xn}为独立同分布的随机变量序列,若人的数学期望存在,则{XJ服从大数定律。总结来说,辛钦大数定律与切比雪夫和马尔可夫大数定律的区别还是较大的,因为辛钦人数定律对于随机变量的方差没冇什么要求,只盂要期望存在即可。辛钦大数定律提供了求随机变量数学期望近似值的方法,对于随机变量X做多次独立重复观察,最后把平均观察值作为数学期望的近似值。强大数定律跟弱大数定律形式上只有细微的差别,Borel强大数定律:设{xn}为独立同分布随机变量序列,EXj=uVarXi<8则:Kolmogorov强大数定律,设(Xn}为独立同分布随机变量序列,满足::lim-y"(Xk-EXk)=0“toon厶—k=l可