偏微分方程的数值方法.doc

第4章偏微分方程的数值方法在自然科学和工程技术中的许多物理问题,都可以用微分方程来描述。虽然大学的高等数学课程里研究了一些特殊常微分方程的解析求解,但是在实际应用中大量的微分方程是无法确定其解析解的。本章和下一章将介绍常微分方程的数值方法、偏微分方程数值求解的思想。§:含有自变量、未知函数及其导数(微分或偏导数)的方程称为微分方程;如果未知函数只含有一个变量,则称为常微分方程;如果未知函数含有若干个变量,则称为偏微分方程。微分方程中未知函数的导数或偏导数的最高阶次称为微分方程的阶。例如:微分方程()是一阶常微分方程,而()是二阶偏微分方程。所有使微分方程成为等式的函数,都是微分方程的解;在n阶微分方程中,将微分方程的具有n个任意常数的解称为该微分方程的通解。为确定微分方程通解中的任意常数而列出的条件称为定解条件;定解条件可以分为初始条件和边界条件两类。由微分方程和定解条件一起构成的问题称为微分方程定解问题。根据定解条件的不同,常微分方程分为初值问题和边值问题;若定解条件是描述函数在一点(或初始点)处状态的,则称为初值问题,一阶常微分方程初值问题的一般形式为:()若定解条件描述了函数在至少两点(或边界)处状态的称为边值问题,例如:()微分方程的解有解析解与数值解两种。由于实际问题中大多数微分方程无法求出解析解,或难以其用初等函数表示解析解;同时在应用过程中,一般只需要得到若干特定点处的函数值。因此微分方程数值解法是科学与工程计算中的一个重要内容。由于微分方程数值解是一组离散点处的未知函数值,所以求数值解的基本步骤为:首先将整个定义域分成若干小块,以便对每小块上的点或片求出近似值,这样按一定规律对定义域分割的过程称为区域剖分。其次根据微分方程的形式,构造关于上述离散点或片的函数值递推公式或方程,该步骤称为微分方程的离散。这样未知量不再是一个连续函数,而是由若干个未知函数值所构成。微分方程离散后得到的递推关系式,需要给定若干个初值才能启动。如果递推式是一个线性方程组,一般它所含的方程个数要少于未知量的个数,必须补充若干个方程后才可求解。这些方程可以通过将微分方程的初始条件或边界条件离散后获得,这一过程称为初始或边界条件的离散。经过上面的三个离散化过程,原来的微分方程定解问题就变为离散系统的求解问题。在求解之前需要讨论离散系统解的存在唯一性问题;离散系统与微分方程问题之间的差异,即解的收敛性问题;还需要研究解的收敛速度和计算的稳定性等问题。最后进行实际计算,通过求解离散系统问题,得到微分方程定解问题的数值解。应用数学方法解决实际问题可以分为两个阶段,一是对实际问题进行分析,假设,并建立数学模型;二是根据数学模型的特点,选择适当的数值方法,确定模型的解。数值方法的误差主要有以下四个来源。①模型误差将实际问题归结为数学模型时,需要对问题作一定的简化和假设,由此产生数学模型与实际问题之间的误差;②观测误差数学模型中的一些系数、初值等常数源于测量仪器或统计资料,由于客观条件和仪器精度的限制而产生的误差;③截断误差数学模型离散化时往往舍去一些次要的项,这将导致数学模型解与离散问题解之间产生的误差;④舍人误差利用计算机根据结定的数值方法求解离散问题时,由于计算机对所运算的对象按一定字长进行四舍五人,将导致问题数值解与离散问题解之间的误差。本章主要关注微分方程离散化过程中产生的截断误差。§(组)初值问题()的数值方法()先研究最简单最直观的求解初值问题的Euler方法,然后介绍两类更有效的方法:Runge-Kutta方法和线性多步方法。§+()的求解区间进行剖分,以得到计算节点。一般将求解区间均匀分成N等份,即得到的节点满足:()Euler方法的具体计算公式,可以由三种不同的方法推导得到。(1)差商近似方法将初值问题()在节点处的导数用前向差商代替:()记,则微分方程()近似写成:()由初始条件出发,逐步计算得到。式()称为显式Euler公式,显式Euler公式是最基本的计算公式。如果将节点处的导数用后向差商代替:()则类似可得递推公式:()由于它关于是隐式形式,所以式()称为隐式Euler公式。显式和隐式Euler公式在计算时,只用到前一步的结果,可称为单步方法。如果将节点处的导数用中心差商代替:()得到的递推公式:()在计算时,需要用到前两步结果,称为两步法公式。