三角形四心与向量.doc

WORD格式:..三角形“四心”的向量性质及其应用一、三角形的重心的向量表示及应用(中线交点)命题一:已知A,B,C是不共线的三点,G是△ABC内一点,△:点O是三角形ABC的重心则S=S=OA变式:已知D,E,F分别为△ABC的边BC,AC,:如图4,平行四边形ABCD的中心为O,P为该平面上任意一点,则1PO(PAPBPCPD).4二、三角形的外心的向量表示及应用(外接圆圆心,边中垂线交点)命题二:已知G是△ABC内一点,满足MAMBMC,则点M为△ABC的外心。三、三角形的垂心的向量表示及应用:(高线交点)例1:已知G是△ABC内一点,满足GAGBGAGCGBGC,则点G为垂心。222222变式:若H为△ABC所在平面内一点,且HABCHBCAHCAB则点H是△ABC的垂心四、三角形的内心的向量表示及应用(内角平分线交点,内切圆圆心)命题四:O是内心ABC的充要条件是OA(|ABAB|ACAC)OB(|BABA||BCBC)|OC(|CACA||CBCB)|0变式1:如果记AB,BC,CA的单位向量为e1,e,e23,则O是ABC内心的充要条件是OA(e1e3)OB(e1e2)OC(e2e3)0变式2:如果记AB,BC,CA的单位向量为e1,e,e23,则O是ABC内心的充要条件也可以是aOAbOBcOC0。例1(2003江苏)已知O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,满足1专业分享WORD格式ABACOPOA(),0,,则P的轨迹一定通过△ABC的内心。ABAC例2、已知P是非等边△ABC外接圆上任意一点,问当P位于何处时,PA2+PB2+PC22+PB2+PC2取得最大值和最小值。,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OPOAABAC(),(0,)osC,则动点P的轨迹一定通过△ABC的(D):(1)OPOA(),(0,)(2)OPOAABsinCACsinB(),(0,)ABAC(3)PBPC(),(0,)osCA例4:点O在△ABC内部且满足OA2OB2OC0,则△ABC面积与凹四边形ABOC的面积之比(C)A0B3/2C5/4D4/3变形引申:OAmOBnOC0,求△ABC面积与凹四边形ABOC的面积之比()例2(03年江苏卷)O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足ABACOPOA(),(0,),则P的轨迹一定通过△AB的C()|AB||AC|(1)(05年全国卷Ⅰ理)ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,OHm(OAOBOC),则实数m=;(2)(05年全国卷I文)点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足OAOBOBOCOCOA,则点O是ABC的()(3)(05年湖南卷文)P是△ABC所在平面上一点,若PAPB=PBPC=PCPA,则P是△ABC的()→AB→→(0