中考数学重难点专题讲座 第九讲 几何图形的归纳、猜想问题(含..doc

中考数学重难点专题讲座第九讲几何图形的归纳,猜想,证明问题【前言】实行新课标以来,中考加大了对考生归纳,总结,猜想这方面能力的考察,但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察,所以大多放在填空压轴题来出。08年的中考填空压轴是一道代数归纳题,已经展现出了这种趋势。09年的一模,二模也只是较少的区县出了这种归纳题,然而中考的时候就出了一道几何方面的n等分点总结问题。于是今年的一模二模,这种有关几何的归纳,猜想问题铺天盖地而来,这就是一个重要的风向标。而且根据学生反映,这种问题一般较难,得分率很低,经常有同学选择+填空就只错了这一道。对于这类归纳总结问题来说,思考的方法是最重要的,所以一下我们通过今年的一二模真题来看看如何应对这种新题型。第一部分真题精讲【例1】2010,海淀,一模如图,n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,设211BDC∆的面积为1S,322BDC∆的面积为2S,…,1nnnBDC+∆的面积为nS,则2S=;nS=____(……【思路分析】拿到这种题型,第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。本题还好,将阴影部分标出,不至于看错。但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是22BAC∆,33BAC∆这种的,,而这个三角形和△==.接下来通过总结,我们发现所求的三角形有一个最大的共性就是高相等,为3(连接上面所有的B点,将阴影部分放在反过来的等边三角形中看。那么既然是求面积,高相等,剩下的自然就是底边的问题了。我们发现所有的B,C点连线的边都是平行的,于是自然可以得出nD自然是所在边上的n+.+-=⋅+(n+1-1是什么意思?为什么要减1?n+∆=⋅==++【例2】2010,西城,一模在平面直角坐标系中,我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形,如图,菱形ABCD的四个顶点坐标分别是(80-,,(04,,(80,,(04-,,则菱形ABCD能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个;若菱形nnnnABCD的四个顶点坐标分别为(20-,n,(0,n,(20,n,(0-,n(n为正整数,则菱形nnnnABCD能覆盖的单位格点正方形的个数为_________(用含有n的式子表示.-8-448ODCBAyx【思路分析】此题方法比较多,例如第一空直接数格子都可以数出是48(笑。这里笔者提供一种方法,其他方法大家可以自己去想想看。因为求的是菱形包涵的正方形个数,所以只需求出被X,Y轴所分的四个三角形包涵的个数,再乘以4即可。比如我们来看第二象限那个三角形。第二象限菱形那条边过(-2n,0(0,n,自然可以写出直线解析式为12yxn=+,斜率12意味着什么?看上图,注意箭头标注的那些空白三角形,这些RT三角形一共有2n/2=n个,他们的纵直角边与横直角边的比是不是就是12?而且这些直角三角形都是全等的,△AOB的面积自然就是122nn⋅⋅,所有n个空白小三角形的面积之和为1212n⋅⋅⋅,相减之后自然就是所有格点正方形的面积2nn-,-.【例3】2010,平谷,一模如图,45AOB∠=︒,过OA上到点O的距离分别为1357911...,,,,,的点作OA的垂线与OB相交,得到并标出一组黑色梯形,它们的面积分别为1234SSSS,,,,.则第一个黑色梯形的面积1S=;观察图中的规律,第n(n为正整数个黑色梯形的面积nS=.BA...1311975310S4S3S2S1【思路分析】本题方法也比较多样。所有阴影部分都是一个直角梯形,而因为45AOB∠=︒,所以梯形的上下底长度分别都对应了垂足到0点的距离,而高则是固定的2。第一个梯形上底是1,下底是3,所以(1113242S=⋅+⋅=.第二个梯形面积(21572122S=⋅+⋅=,第三个是(319112202S=⋅+⋅=,至此,。于是第n个梯形的上底就是1+4(n-1=4n-3,(第一个梯形的上底1加上(n--1,于是nS就是8n-4.【例4】2010,丰台,一模在平面直角坐标系中,横坐标、,A2B2C2D2,A3B3C3D3……