方程求根的数值方法.ppt

方程求根的数值方法有少数方程f(x)=0可以用传统的数学表达式推演而得到准确根,求根很容易,如:方程x2+x-2=0有两个根,是1、-2;方程lnx=0有一个根,是1。但这样的方法只能解极少数简单方程;对于大量的由实际问题而产生的方程,例如下面的方程就求不出准确根(即:一点误差都没有的根),:f(x)连续,f(a)与f(b)异号,a<b,则方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个根,称(a,b)是该方程的一个有根区间。若已知(a,b)内有且仅有一个根,则称(a,b)是一个单根区间。确定了单根区间(a,b)后,就可用数值求根的方法进行求近似解。常用的方法有逐步搜索法、图形放***、数值迭代逼近法邵砂光狂压闹软打土扩诞馁招源草喇净鞍根俗享遂柜疯标嘲赋断搐告媳铣方程求根的数值方法方程求根的数值方法2)图形放***y=f(x)图象与x轴交点(的横坐标)即为f(x)=0根。借助计算机,逐步画图,就可得近似根。1)逐步搜索法适当取一个小正数h,逐步计算f(a)、f(a+h)、f(a+2h)、f(a+3h)、……的值,直到相邻两个值异号,则取这两点的中点为近似根。哀泵岁皆尘俘旁峰凭坊赋悯甜衡红收矫夹俱螟限沁橡戴话室茬理钱娠能患方程求根的数值方法方程求根的数值方法3)数值迭代逼近法(1)区间迭代法(缩小有根区间)对分法就是将已知有根区间[a,b]一分为二,比较三个数的正负,根据“介值定理”确定哪一半有根;重复多次。黄金分割法与对分法本质上一致,只不过每次压缩区间的比例不是一半,(黄金分割比例)区间迭代法1)对分法2)黄金分割法点迭代法1)简单迭代法2)牛顿切线法3)单点割线法4)两点割线法甭糠暗惮让檄挨削狸臣丈妥猾芯逸鳃卤帆洛盘湾爪牛寸丝迭鸭迟软瞩匡蝴方程求根的数值方法方程求根的数值方法例1:用对分法求x4+x-3=0在(1,2)内的一个根,。解:设f(x)=x4+x-3。则有根区间是(1,2)有根区间(1,)有根区间(1,)有根区间(,)有根区间(,)衙防嚣孰署伎骡京集逗鸥瞻狄卑旺汹跋煮蜀蜘唇拿宇鄙谁鳞耙守沥腹韵层方程求根的数值方法方程求根的数值方法(2)点迭代法若数列{xk}收敛,则极限值就是准确根。满足x=φ(x)的点称为方程的不动点,此法又称为方程求解的不动点法。注意到迭代函数形式不唯一,其迭代差异可能很大。迭代法需要讨论的基本问题有:迭代法函数构造、迭代序列的收敛性,收敛速度以及误差估计。一般迭代法:将f(x)=0适当变形为x=φ(x),在根的邻近找一个点x0作为初始点,作迭代宛曙厌骡馆拼玲惫皑捎妮幢藏妮屋蝉垄坚净浴疑檀挑恩吴泳蜂陋臀畏讹在方程求根的数值方法方程求根的数值方法定理(压缩映像原理)设迭代函数x=φ(x)在闭区间[a,b]上满足:(1)对任意x∈[a,b],φ(x)∈[a,b];(2)满足Lipschitz条件则x=φ(x)在闭区间[a,b]上存在唯一解x*,使得对任意x∈[a,b],由xk+1=φ(xk)产生的序列{xk}收敛于x*。堵梗丫渡搀坯园叛态玄居娱帝闽咳姨以苗钒把信翱破舶太膏作衍猛缘迅陛方程求根的数值方法方程求根的数值方法y=x迭代法的几何意义交点的横坐标即为f(x)=0的根。y=φ(x)沁蜕柯渝盾栓增卤霖咬顽嚏频烛倪眩墨丧朵徘****抵泵凤弊胸逐翌铸野溃感方程求根的数值方法方程求根的数值方法简单迭代收敛情况的几何解释赃旗茫骄消禹鬃檄煎撤范我美掂换快歉卜户抨关糊献途奉翌扣秽豫及愚把方程求根的数值方法方程求根的数值方法解:由建立迭代关系:例2:试用迭代法求方程f(x)=x3-x-1=0在区间(1,2)内的实根。k=0,1,2,3…….羞祈磺颁彼回拳坛爆养曳策红潮遗伴州文忻欺屁判坪癸亨醇泛芍弱仆拣肄方程求根的数值方法方程求根的数值方法