高等数学--函数展开成幂级数.ppt

目录上页下页返回结束第四节两类问题:在收敛域内和函数)(xSnnnxa???0幂级数求和展开本节内容:一、泰勒( Taylor ) 级数二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数第十二章目录上页下页返回结束一、泰勒( Taylor ) 级数其中?)(xRn( ?在 x 与 x0 之间)称为10)1()(!)1()(????nnxxnf?则在复****()(0xfxf???))((00xxxf200)(!2)(xxxf???nnxxnxf)(!)(00)(????)(xRn?若函数0)(xxf在的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 该邻域内有:f (x) ?)(0xf???))((00xxxf200)(!2)(xxxf?????????nnxxnxf)(!)(00)(则称当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为1) 对此级数, 它的收敛域是什么?2) 在收敛域上, 和函数是否为 f (x) ?待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数, 0)(xxf在为f (x), )(0xU则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f (x) 的泰勒公式余项满足:.0)(lim???xRnn证明,)(!)()(000)(nnnxxnxfxf?????令)()()(1xRxSxfnn??????)(limxRnn??)()(lim1xSxfnn????,0?)(0xUx?knkknxxkxfxS)(!)()(000)(1?????)(0xUx?设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域内具有目录上页下页返回结束定理2 若 f (x) 能展成 x 的幂级数,的, ),(,)(2210RRxxaxaxaaxfnn??????????则;2)(121?????????nnxnaxaaxf)0(1fa??;)1(!2)(22??????????nnxannaxf)0(!212fa??????;!)()(???nnanxf)0()(!1nnnfa????显然结论成立.)0(0fa?则这种展开式是唯一设 f (x) 所展成的幂级数为目录上页下页返回结束二、函数展开成幂级数1. 直接展开法由泰勒级数理论可知, 展开成幂级数的步函数)(xf第一步求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值;第二步写出麦克劳林级数, 并求出其收敛半径 R ; 第三步判别在收敛区间(-R, R) 内)(limxRnn??是否为骤如下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式0. 的函数展开目录上页下页返回结束例1xxfe)(?展开成 x 的幂级数. 解,e)()(xnxf??),,1,0(1)0()(???nfn1其收敛半径为???对任何有限数 x , 其余项满足?)(xRn?e!)1(?n1?nxxe?!)1(1??nxn故,!1!31!211e32?????????nxxnxxx???nRlim!1n!)1(1?n??n0),(?????x(?在0与x 之间)x?2!21x?3!31x??????nxn!1故得级数将函数目录上页下页返回结束例2xxfsin)(?展开成 x ?)()(xfn??????)0()(nf得级数:x)sin(2π??nx其收敛半径为,???R对任何有限数 x , 其余项满足)(?xRn))1(sin(2π??n?!)1(?n1?nx!)1(1???nxn12??kn),2,1,0(??k3!31x?????5!51x??????12!)12(11)1(nnnx),(?????xxsin???n0kn2?,)1(k?,0????????????12!)12(115!513!31)1(nnnxxxx将目录上页下页返回结束例3mxxf)1()(??展开成 x 的幂级数, 其中m为任意常数. 解,1)0(?f,)0(mf??,)1()0(????mmf??,)1()2)(1()0()(?????nmmmmfn于是得级数??mx1???2!2)1(xmm由于1lim????nnnaaRnmnn?????1lim1????????nxnnmmm!)1()1(级数在开区间(-1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m, 将函数易求出目录上页下页返回结束推导11,)(???xxF???2!2)1(xmm???????nxnnmmm!)1()1(?????????????????1!)1()1()1(111)(nxnnmmxmmxF???xmxF1)()()1(xFx??),(xmF?mxxF)1()(???????xxxxmxxFxF00d1d)()()1ln()0(ln