积化和差与和差化积公式.doc

--------------------------校验:_____________-----------------------日期:_____________积化和差与和差化积公式积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复****课基本公式复****1、两角和与差公式及规律 2二倍角公式及规律 3、积化和差与和差化积公式生动的口诀:(和差化积)口诀正加正,正在前,余加余,余并肩正减正,余在前,余减余,负正弦反之亦然和差化积公式是积化和差公式的逆用形式,要注意的是: ①其中前两个公式可合并为一个:sinθ+sinφ=2sincos ②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想,和差化积公式的推导用了“换元”思想。③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差,才能直接运用公式化成积的形式,如果一个正弦与一个余弦的和或差,则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。④合一变形也是一种和差化积。⑤三角函数的和差化积,可以理解为代数中的因式分解,因此,因式分解在代数中起什么作用,和差化积公式在三角中就起什么作用。 3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟,不可分离,在解题过程中,要切实注意两者的交替使用。如在一般情况下,遇有正、余弦函数的平方,要先考虑降幂公式,然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。和积互化公式其基本功能在于:当和、积互化时,角度要重新组合,因此有可能产生特殊角;结构将变化,因此有可能产生互消项或互约因式,从而利于化简求值。正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ, 将以上两式的左右两边分别相加,得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ, 设α+β=θ,α-β=φ那么α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2 把α,β的值代入,即得 sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cos(α-β)-cos(α+β) =[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)] =2sinαsinβsinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ] =-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)] =-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)] 其他的3个式子也是相同的证明方法。 4、万能公式证:注意:1、上述三个公式统称为万能公式。2、这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切,即:所以利用它对三角式进行化简、求值、证明,可以使解题过程简洁3、上述公式左右两边定义域发生了变化,由左向右定义域缩小。应注意的问题1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础,、倍角公式有升、降幂的功能,如果升幂,则角减半,如果降幂,则角加倍,、公式的“三用”(顺用、逆用、变用)、整体原则-------从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手,寻求三角变形的思维指向;4、角度配凑方法,其中是任意角。三、例题讲解例1已知α,β均为锐角,sinα=,求α+β的值。解析:由已知条件有cosα=,且0<α+β<π。又cos(α+β)=cosαcosβ-,当时, 故当n为偶数时,当n为奇数时,例3已知求的值;当时,(1) [方法1] 从而, [方法2]设(2)由已知可得 ,得将上面两式相加,得例6的值等于() (α-β)=都是锐角,求cos(α+β)的值。解析:由已知条件有因为0<sin2α=,所以0<2α<,所以0<α<。 ①又因为0<β<,所以<-β<0 。 ②由①、②得<α-β<。又因为cos(α-β)=,所以。=。从而cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)评析:本例通过0<sin2α=,发现了隐含条件:0<α<,将α-β的范围缩小为,进而由cos(α-β)=,将α-β的范围确定为,从而避免了增解。例8已知,且tanα,tnaβ是一元二次方程的两个根,求α+β的值。解析:由已知条件得tanα+tanβ=,tanαtanβ=4>0,所以tanα<0,tanβ<0。又因为,所以所以-π<α+β<0。又因为tan(α+β)==所以α+β=。评析:本例根据韦达定理tanα+tanβ=,tanαtanβ=4,挖掘出了隐含条件tanα<0,tanβ<0,知,,得出了α