初等数论期末复习资料.doc

--------------------------校验:_____________-----------------------日期:_____________初等数论期末复****资料数论教案§1整数的整除带余除法1整数的整除设a,b是整数,且b≠0,如果有整数q,使得a=bq,则称b整除a,记为b|a,也称b是a的因数,,使得a=bq,则称b不能整除a,记为b∤|4,4|-12,-5|15;2∤3,-3∤,整除概念中的整数是正整数,|a?当a,b的数值较大时,,说明b|a;如果b除a的商不是整数,说明b∤|a?(1)7|127?(2)11|129?(3)46|9529?(4)29|5939?整除的简单性质(1)如果c|b,b|a,那么c|a;(2)如果d|a,d|b,那么对任意整数m,n,都有d|ma+nb.(3)如果都是m的倍数,是任意整数,那么是m的倍数.(4)如果c|a,d|b,那么cd|ab。例如:2|4,2|(-6),那么2|4+(-6),2|4-(-6).2|4,3|(-6),那么2×3|4×(-6).例2证明任意2个连续整数的乘积,,,b是整数,且b>0,那么有唯一一对整数q,r使得a=bq+r,0≤r<b.(1)这里q称为b除a的商,-5=3×(-2)+15=3×1+2-5=(-3)×2+15=(-3)×(-1)+215=(-5)×(-3),-24=(-2)×,-5=3×(-1)-2=3×(-2)+,也称为模运算(取余)::输入a-按mod(取余)键-输入b-按==0,则b|a;如果b除a的余数≠0,则b∤:(1)7除127;(2)11除-129;(3)46除-9529;(4)-29除5939奇数、,0,4,10,-6,-,-5,-3,1,7,(n是整数);奇数的形式为2n-1(n是整数).奇数、偶数的性质:偶数±偶数=偶数,奇数±奇数=偶数,奇数±偶数=奇数,偶数×偶数=偶数,偶数×奇数=偶数,奇数×奇数=+4,2-4,3+1,3-1,3+4,6+5设a,b是任意两个整数,则a+b与a-+5,3-5,6+3,6-3,例4设a,b,n是任意3个整数,而且,,试证明8|.例6设n是正整数,证明形如3n-,设a=3q或a=3q±1,于是=9或=9±6q+1=3(3±2q)+≠3n-1,故3n-,证明形如4n-1、4n+:P3-4:1t,2t.§2公因数、、辗转相除法中小学里的公因数、最大公因数的概念:.(1)几个数:不能确定;(2)因数、公因数:都是正整数;最大公因数:,d都是整数,d≠0,如果,i=1,2,…,n,称d是的公因数,=1,则称互质。例1(-6,8)=2,(-3,6,-9,15)=3,(1,2,3,-4)=,求正整数a,b的最大公因数主要有这个样几种方法:(1)观察法;(2)将a,b的所有公因数都求出来,再从中挑最大的;(3):设a,b是正整数,而且有……………(*)。例2用辗转相除法求(123,78),练****用辗转相除法求(66,54).,b,c不全为0,而且有整数q使得a=bq+c则(a,b)=(b,c).证明由a,b,c不全为0知,(a,b)、(b,c)(a,b)|a,(a,b)|b,c=a-bq,得(a,b)|c,又得(a,b)≤(b,c);反之,由(b,c)|b,(b,c)|c,a=bq+c,得(b,c)|a,(b,c)≤(a,b).所以(a,b)=(b,c).由(*)式知而n是有限正整数,再由性质1得…=.:性质2(am,bm)=(a,b)m,m>0.(短除法的根据)例3求(84,90),(120,36).(8