（鲁京辽）2018-2019学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.7 柱、锥、台和球的体积学案 新人教B版必修2.doc

柱、锥、台和球的体积学****目标 、锥、、锥、(如图所示),并改变它们的放置方法,观察改变前后的体积是否发生变化?从这个事实中你得到什么启发?答案体积没有发生变化,从这个事实中能够猜测出两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,(1)内容:幂势既同,则积不容异.(2)含义:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.(3)应用:等底面积、、锥、台、球的体积公式名称体积(V)柱体棱柱V=Sh圆柱V=πr2h锥体棱锥V=Sh圆锥V=πr2h台体棱台V=h(S++S′)圆台V=πh(r2+rr′+r′2)球V=πR3其中S′、S分别表示上、下底面的面积,h表示高,r′和r分别表示上、下底面的半径,.( × ).( √)∶2,则其体积之比为1∶4.( × )类型一柱体、锥体、台体的体积例1 (1)如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1--ABC1的体积等于三棱锥A-B1BC1的体积,三棱锥A-B1BC1的高为,底面积为,故其体积为××=.(2)如图所示,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,用截面截下一个棱锥C-A′DD′,求棱锥C-A′DD′=a,AD=b,AA′=c,∴VC-A′D′D=CD·S△A′D′D=a·bc=abc,∴剩余部分的体积为VABCD-A′B′C′D′-VC-A′D′D=abc-abc=abc,∴棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶(1)常见的求几何体体积的方法①公式法:直接代入公式求解.②等积法:如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即可.③分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.(2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算,一般要找出相应的底面和高,要充分利用截面、轴截面,求出所需要的量, 已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,,在三棱台ABC-A′B′C′中,取上、下底面的中心分别为O′,O,BC,B′C′的中点分别为D,D′,则DD′′B′=3××(20+30)×DD′=75DD′.又因为A′B′=20cm,AB=30cm,则上、下底面面积之和为S上+S下=×(202+302)=325(cm2).由S侧=S上+S下,得75DD′=325,所以DD′=(cm),O′D′=×20=(cm),OD=×30=5(cm),所以棱台的高h=O′O===4(cm).由棱台的体积公式,可得棱台的体积为V=(S上+S下+)=×=1900(cm3).类型二球的体积例2 (1)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器厚度,则球的体积为( ) A解析作出该球轴的截面如图所示,依题意BE=2,AE=CE=4,设DE=x,故AD=2+x,因为AD2=AE2+DE2,解得x=3,故该球的半径AD=5,所以V=πR3=(cm3).(2)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上, a3解析长方体的体对角线是其外接球的直径,由长方体的体对角线为=a,得球的半径为a,V=π3=(1)求球的体积,关键是求球的半径R.(2)球与其他几何体组合的问题,往往需要作截面来解决,所作的截面尽可能过球心、切点、 (1)一平面截一球得到直径为2cm的圆面,球心到这个平面的距离是2cm,则该球的体积是( ) B解析设球心为O,截面圆心为O1,连接OO1,则OO1垂直于截面圆O1,△OO1A中,O1A=cm,OO1=2cm,∴球的半径R=OA==3(cm),∴球的体积V=×π×33=36π(cm3).(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都