二次函数根的分布和最值.doc

--------------------------校验:_____________-----------------------日期:_____________二次函数根的分布和最值二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程根的分布情况设方程的不等两根为且,相应的二次函数为,方程的根即为二次函数图象与轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况)分布情况两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0,一个大于0大致图象()得出的结论大致图象()得出的结论综合结论(不讨论)表二:(两根与的大小比较)分布情况两根都小于即两根都大于即一个根小于,一个大于即大致图象()得出的结论大致图象()得出的结论综合结论(不讨论)表三:(根在区间上的分布)分布情况两根都在内两根有且仅有一根在内(图象有两种情况,只画了一种)一根在内,另一根在内,大致图象()得出的结论或大致图象()得出的结论或综合结论(不讨论)——————根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间外,即在区间两侧,(图形分别如下)需满足的条件是(1)时,;(2)时,对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明:(1)两根有且仅有一根在内有以下特殊情况:若或,则此时不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为或,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间内,从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根,因为,所以,另一根为,由得即为所求;方程有且只有一根,且这个根在区间内,即,此时由可以求出参数的值,然后再将参数的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内,求的取值范围。分析:①由即得出;②由即得出或,当时,根,即满足题意;当时,根,故不满足题意;综上分析,得出或根的分布练****题例1、已知二次方程有一正根和一负根,求实数的取值范围。解:由即,从而得即为所求的范围。例2、已知方程有两个不等正实根,求实数的取值范围。解:由或即为所求的范围。例3、已知二次函数与轴有两个交点,一个大于1,一个小于1,求实数的取值范围。解:由即即为所求的范围。例4、已知二次方程只有一个正根且这个根小于1,求实数的取值范围。解:由题意有方程在区间上只有一个正根,则即为所求范围。(注:本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在内,由计算检验,均不复合题意,计算量稍大)=ax2+bx+c(a≠0),判别式Δ=b2-4ac,当Δ>0时y=f(x)与x轴有二交点;当Δ=0时,y=f(x)与x轴仅有一交点;当Δ<0时,y=f(x)>0时,设y=f(x)图象与x轴两交点为x1<=f(x)与x轴交点x1,x2就是相应一元二次方程f(x)=△=0,a>0 ,△=0,a<0当△<0时,y=f(x)图象与x轴无公共点,>0时,绝对不等式f(x)>0解为x∈<0时,绝对不等式f(x)<0解为x∈,往往归结为不等式(组)的求解问题,其方法有3种:(1)应用求根公式;(2)应用根与系数关系;(3),,(x)=ax2+bx+c(a>0),方程ax2+bx+x=0的个根为α,β(α≤β),m,n为常数,且n<m,方程根的分布无外乎两种情况:②α,β同居一区间时,不但要考虑端点函数值的符号,还要考虑三、好题解给你(1) =2x2-8x+,当x∈[3,4]时,随x变大,y的值变大还是变小?由此y=f(x)在[3,4]上的最大值与最小值分别是什么?解:经配方有y=2(x-2)2-7∵对称轴x=2,区间[3,4]在对称轴右边,∴y=f(x)在[3,4]上随x变大,y的值也变大,因此ymax=f(4)==f(3)=-=2x2-4ax+2a2+,此函数对称轴是什么?当x∈[3,4]时,随x变大,y的值是变大还是变小?与a取值有何关系?由此,求y=f(x)在[3,4]:经配方有y=2(x-a)2+=≤3时,因为区间[3,4]在对称轴的右边,因此,当x∈[3,4]时,随x变大,<a<4时,对称轴x=a在区间[3,4]内,此时,若3≤x≤a,随x变大,y的值变小,但若a≤x≤4,随x变大,≤a时,因为区间[3,4]在对称轴的左边