第一节三角形常应变单元.doc

第三章平面问题的有限元法本章通过三角形常应变单元,介绍有限元法应用于弹性体应力分析的基本原理和方法:包括弹性体的离散化,单元特性的分析,刚度矩阵的建立,等效节点力的计算,解答的收敛性以及实施步骤和注意事项,同时对形函数的性质也作简要的叙述。第一节 三角形常应变单元一、结构离散化用有限元法分析弹性力学平面问题,第一步就是把原来的连续的弹性体离散化。(a)               (b)(平板)划分成有限个三角形。这样的三角形称为单元(三角形单元)。三角形单元的顶点取为节点。3节点三角形单元用边界节点间的直线段来近似板的曲线边界。这些三角形在其节点处相互连接,组成一个单元集合体,以代替原来的弹性体。注:。:总码-----------用于整体分析,如1,2,…,按自然顺序编号局部码--------用于单元分析,i,j,m要求按逆时针方向的顺序进行编码每个单元的节点局部码i,j,,包括集中载荷、表面载荷和体积力,都按虚功等效的原则移置到节点上,成为等效节点载荷。二、 平面三角形单元设单元e的节点号码为i,j,m。由弹性力学平面可知,单元内任意一点有两个位移分量u,v,记为故每个节点也有两个位移分量,因此称节点自由度为2。3个节点得位移分量分别是,用列阵表示为(3-1)称单元自由度是6。其中任一子矩阵为(i,j,m轮换),但位移分布事先并不知道。位移法有限元采用节点位移为基本未知量。因此,在应用位移法有限元时,需要对单元内部的位移分布进行假定,使其满足节点的位移连续条件和单元边界的位移连续条件。单元位移分布的假定一般选用代数多项式,多项式的系数待定。这是一种近似方法。代数多项式的次数可以选择很高,不过次数越高,分析越麻烦,但精确度越好。这种假定的单元位移分布形式称为位移模式,它是坐标x和y的函数,所以也称为位移函数。对于3节点三角形单元,选用的位移模式是把单元中任一点的位移u,v表示为坐标x和y的线性函数,即(3-2)式中为待定常数设各节点坐标为(xi,yi),(xj,yj),(xm,ym),同时设各节点位移为(ui,vi),(uj,vj),(um,vm)代入式(3-2)得由上式左边的三个方程可以求得,, 其中式中为三角形面积,为了保证求得的面积为正值,三个节点i,j,m必须按逆时针编排,如图3-2所示。将代入式(3-2),经整理得其中 (i,j,m轮换)   (3-3)同理得若令(i,j,m轮换)   (3-4)则得位移模式为(3-5)也可写成矩阵形式(3-6)式中是坐标的线性函数,它们反映了单元的位移状态,所以称为形函数,且称为形函数矩阵。其中例题1图示单元,已知各节点的坐标(单位:m),计算:;边中点A的形函数。:       1(0,-),2(,0),3(0,0),计算边中点A的位移。   :1.  Δ=1因  (i,j,m轮换),得在边中点A有x=0,y=1 ,将其代入上式,(3-5),得边中点A的位移三、应变有了单元位移模式(3-5),利用平面问题的几何方程可以求得应变分量。而(i,j,m轮换)所以