解析函数的洛朗展式与孤立奇点.doc

第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点§1解析函数的洛朗展式教学目的与要求:了解双边幂级数,了解洛朗级数与泰勒级数的关系,:解析函数的洛朗展式;::2学时定义级数称洛朗级数,,如果级数收敛于,且级数收敛于,则称级数在点收敛,其和函数为当时,,我们有定理设在圆环内解析,则在内其中,且,:对作,,(其中)且使:,()由柯西积分公式,有+,只要照抄泰勒定理证明中的相应部分,即得:=其中对于第二个积分:当时(右边级数对于是一致收敛)上式两边乘上得:=右边级数对仍一致收敛,沿逐项积分,可得=其中=于是:,其中=(n=0,)下面证明展式唯一,若在H内另有展开式右边级数在上一致收敛,两边乘上得:=,右边级数在上仍一致收敛,沿逐项积分,可得:==:1)定理中的展式称为洛朗展开式,)(1):(1)=().(2).()(3).()(4).()此例子说明::第217页1(1)(3),2(1)(3)§2解析函数的孤立奇点教学目的与要求:::::,但在点不解析,,,但不是孤立奇点,(又由,得故不是孤立奇点),则在的某去心邻域内,有称为在点的主要部分,称为在点的正则部分,当主要部分为时,称为的可去奇点;当主要部分为有限项时,设为称为的级极点;当主要部分为无限项时,,则下列条件等价为的可去奇点在的某去心邻域内有界证明:设条件成立,则在的某一去心邻域内,::说明是的可去奇点法一:法二:2极点定理设为的孤立奇点则下列条件等价:为的级极点在的某去心邻域:内可表示为其中在内解析,且从为m级零点(可去奇点作为解析点看)证明:设条件成立,即在的某去心邻域内有:(为幂级数的和函数,故解析)其中在的某邻域内解析,且从:设条件成立,即在的某去心邻域内有,,,,即其中在的某领域内解析,且,,在内有在内有作业:第218-219页4(1)(3)(5),5(1)(3).§3解析函数在无穷远点的性质教学目的与要求:::::设在的去心领域:(是任何函数的奇点).如,以为孤立奇点,:设为的孤立奇点,令若为的可去奇点(看作解析点).,则相应地,称是的