《抽象代数基础》习题解答.doc

《抽象代数基础****题解答————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 《抽象代数基础》于延栋编盐城师范学院数学科学学院二零零九年五月群论§,上的乘法的乘法表如下:·证明:,,;当时,;当时,..(I).这时,.(II),.(III),和是中的两个不同元素,,,,从而,.同理可知,当或时,,归纳定义为:,.证明:.进而证明:在不改变元素顺序的前提下,,根据定义,对于任意的正整数,()时,对于任意的正整数,,由于适合结合律,,对于任意的正整数和,()个元素:当时,要使记号变成有意义的记号,:在不改变元素顺序的前提下,无论怎样在其中添加括号,,当或时,无需加括号,,由于适合结合律,():不妨设最后一次运算是,其中为中前()个元素的运算结果,,根据归纳假设,,.,令,证明:是上的一个代数运算,,对于任意的,.,,.由于,,从而,,,,.从而,.所以不适合交换律.§:,众所周知,,,.由于矩阵的加法适合结合律,,令,则,并且,.最后,对于任意的,令,,证明:,,上的乘法表如下:·BAE由于矩阵的乘法适合结合律,,,,.,令,.证明:,我们有,,,,,并且对于任意的,我们有,.,的乘法表如下:·,证明:,,若,,,令,.,,.,,证明:.证明事实上,易见,,;.其次,对于任意的,,是上的一个代数运算,若适合结合律,则称是一个半群(或者称关于构成一个半群).证明:整数集关于乘法构成一个半群,,是非空集合,对于任意的,总有,并且整数乘法适合结合律,,,对于任意的,,,并且不存在,,:,对于任意的,,上的代数运算适合结合律,:设是一个非空集合,(称为对称差)如下:,.求证:,对于任意的,总有,.这就是说,矩阵的乘法是上的一个代数运算,并且适合结合律,,称为的一个左(右)单位元,如果对于任意的都有().对于,如果存在使(),则称左(右)可逆的,是的一个左(右)(右)单位元且中每个元素都有关于的左(右):,,,,是单位元,,,证明:,.证明对于任意的,我们有,.所以,.,证明:是交换群的充要条件是,.,对于任意的,我们有,(第5题),证明:,.由上题知,,是上的一个代数运