matlab矩阵的分解.doc

第三章矩阵的分解(一矩阵的特征值与特征向量(=λx运算式中的λ及其所对应的非零的向量x,我们称λ/x为矩阵A的特征值与特征向量。改写原式为,(A-λIx=0,I是单位矩阵,我们令P(λ=det(A-λI=0,则P(λ的展开式称为矩阵A的特征多项式,解出矩阵A的特征多项式,就可得矩阵A的所有eigenvalues。再将每一个eigenvalue代入原式中,即可求出其相对应的eigenvectors。例1:解矩阵A=[-9-3-16;13716;3310]的特征值与特征向量。【解1】先利用函数poly(求出矩阵A的特征多项式,再用roots(函数,求出特征多项式所有的根。A=[-9-3-16;13716;3310];poly(A%利用一个向量来储存此多项式的系数roots(poly(Aans=--=-,第一个ans是A的特征多项式的系数,即第二个ans是A的eigenvalues:10,4,-6接着针对某个特征值,我们找出其对应之特征向量利用rref(函数,求出(A-λI的rowreducedechelonform或是利用null(函数,求出(A-λInullspace的基底向量A=[-9-3-16;13716;3310];rref(A-10*eye(size(Anull(A-10*eye(size(Aans=10101-1000ans=--,第一个ans是的reducedrowechelonform即令,得为10所对应的eigenvectors第二个ans是nullspace的基底向量,,当取t=-1再除以norm(x,即可得这个基底向量。依此方法,将其他的eigenvectors求出。【解2】使用matlab函数eig(,eig(有两种不同的输出形式:eig(A只传回eigenvalues,而[V,D]=eig(A则传回D是由eigenvalues形成的diagonalmatrix;V是由eigenvalues所对应的eigenvectors形成的matrix,满足A*V=V*D,当V是nonsingular时,则表示矩阵A可对角化。A=[11-1;201;110];eig(A%传回eigenvalues所形成的行向量[V,D]=eig(A%D是由eigenvalues形成的diagonalmatrix%V是由eigenvalues所对应的eigenvectors形成的matrixans=-=-----=-,V的第一行行向量,;第二行行向量,为eigenvalue-;第三行行向量,。rank(V%检查V的行向量是否线性独立inv(V*A*V%验证A是否对角化ans=3ans=------(V=3,V的行向量是线性独立,得知A可对角化而且V-%观察数值的准确度inv(V*A*Vans=------:Ann-by-;如果A有n个线性独立的eigenvectors,那么矩阵A就是可以对角化的。此外,我们也可证明当特征值不同时,其所对应的特征向量是线性独立的。从上面的例子,我们可观察到这个结论。例:求出矩阵A=[-2813-42;-1013-6;19-730]的eigenvalues&eigenvectors,判断矩阵A是否可以对角化?