高考递推数列题型分类归纳解析2.doc

高考递推数列题型分类归纳解析2.doc:..高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特別是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。类型1 =an+解法:把原递推公式转化为=/(/?),利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列{%}满足a】=丄,an+x=an+—z ,求色。2解:由条件知:an+x-an=^—= 1 =丄一一芬n+nn(n+i)n/?+l分别令n=1,2,3,……,⑺一1),代入上式得(/?-1)个等式累加之,即(。2 )+(^3_。2)+(。4_色)+ +(色 _。”一1)所以a”-a{=1-—n11,13 11 2 "2n2n变式:(2004,全国I,)已知数列{色}中。1=1,且d2k=d2k-]+(—1)K,a2k+i=d2k+3:其中k=l,2,3,(I)求°3,05;(II)求{偽}:如'=吆-】+(一1)",。2*+1=°2火+3a2k+\=a2k+3*=a2k-\+(—1)火+3"»即吆+1-吆-1=3"+(-1)*色一e=3+(—1),a2k+l~a2k-\=3,+(一1「将以上k个式子相加,得31E如一^=(3+3?+…+3*)+[(—1)+(—1尸+…+(—1门=三(3*—1)+讯(一1)*—1]将4=1代入,得°2如如+*(_1)R_],a2k=a2k-\+(_1)"=£七"_1°1/It!1巴-•32+—•(-1)2_1(伪奇数)经检验d]=l也适合,・•・□二<2 21/11—・32+_・(-1)2一"为偶数)122类型2aft+]=f(n)an解法:把原递推公式转化为弘=£(砒,利用累乘法(逐商相乘法)求解。5例:已知数列{色}满足-fl rj解:由条件知工=亠,分别令72=1,2,3,……,5-1),代入上式得(Z7-1)个等式累乘Jn+1之,即鱼•玉•=—X—X—X2341乂Ta}2例:已知4=3,冷”(心),求%解:3(料_1)(〃一2)_1. .3x2--13(H-l)+2e3(/?-2)+2#,*3x2+2*3+2^'3/?-43川一752 63/7-13n-4 85 ~3n-lo变式:(2004,全国I,理15.)已知数列{给},满足如=1,an-ax+2a2+3他+…+(斤一1)勺_1心),则俐的通项詔 ;;;解:由已知,得色+]=4+2$+3色+•••+(〃-1)%_1+加,「用此式减去已知式,得.\a}=1,—=1,—=3,—=4,---,-^-=n,将以上n个式子相乘,得an=—(n>2)®Ea3 % 2类型3an+l=pan+q(其中p,q均为常数,(#q(#-1)工0))。解法(待定系数法):把原递推公式转化为:a^-t=p(an-ty其中2丄,再利用1-P换元法转化为等比数列求解。例:己知数列{%}中,4=1,an+i=2an+3,求a”.解:设递推公式0曲二2勺+3可以转化为色°一t=2(色一/)即4屮=2aH-t^>t=-+】+3=2(勺+3),令bn=给+3,则勺二绚+3=4,且如=%+3=+3所以{仇}是以也=4为首项,2为公比的等比数列,则亿=4x2心二2曲,所以匕=:(2006,重庆,文,14)在数列{%}中,若6Z,=1,6Zh+i=2^+3(/i>1),则该数列的通项色= (key:afl=2""-3)变式:()已知数列{aj满足坷=1,色+]=2色+1(〃N、(I)求数列{色}的通项公式;(id若数列{歸滿足4吐毕一】…举戶=a+i)气必“),证明:数列偽}是等差数列;(III) ffi明:+ ++ N9).23a2a3an+]2(I)解:•・•色+]=2色+i(72wnJ,・•・%+1=2(%+1),・・・{色+1}是以q+l=2为首项,2为公比的等比数列.•・・an+1=2".即an=2n-l(neN").(II)证法一:v4^,_14v,...4vl=(aM+1)*\・4%+他+•••+*”)-“=2,tkn・•・2[(勺+0+...+仇)一刃=nbn, ①2[@+&2+.・•+"+bn+i)-(n4-1)]=(n+l)/?n+1. ②②一①,得2(bn+}-1)=(m+l)bn+}-nbn,即(n-\)hfl+[-nbn+2=0,讪”+2-(斤+1)仇+]+2=0.③一④,得nblj+2-2nbn+}+nbn-0,即优+2-2如+化=0,••也+2-乞+严4+厂仇(处“),・・・{$