5.3同角三角比的关系和诱导公式.ppt

§、复****终边相同的角的三角函数的值相等(公式一)sin(°+α)=sinαcos(°+α)=cosαtan(°+α)=tgα(k∈α)二、学****目的:在初中求0°——90°间角的三角函数值,可以通过查表;利用公式一,可以把求任意角的三角函数值转化为求0°——360°间的角的三角函数值。因此,如果能把求90°——360°间的角的三角函数值转化为求0°——90°间的角的三角函数值,那么就可以求任意角的三角函数值了。三、角度之间的关系设0°≤α≤90°,那么90°—180°间的角,可以写成180°-α或90°+α180°—270°间的角,可以写成180°+α或270°-α270°—360°间的角,可以写成360°-α或-α或270°+α为使讨论具有一般性,这里假定α为任意角。下面依次讨论180°+α,-α,180°-α,360°-α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系。对于90°—360°的角,可用下面的形式来表示:1、形如180°+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系单位圆:以原点为圆心,等于单位长的线段为半径作一个圆1-11-1已知任意角α的终边与这个圆相交与点p(x,y),由于角180°+α的终边就是角α的终边的反向延长线,角180°+α的终边与单位圆的交点p‘(-x,-y),又因单位圆的半径r=1,由正弦线和余弦线的定义得到:α180°+α因此sin(180°+α)=-sinαcos(180°+α)=-cosαp(x,y)p'(-x,-y)sinα=ycosα=xsin(180°+α)=-ycos(180°+α)=-xxoy又根据同角三角函数间的基本关系式,有于是我们得到一组公式(公式三)sin(180°+α)=-sinαcos(180°+α)=-cosαtan(180°+α)=tanα2、形如-α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系1-11-1任意角α的终边与这个圆相交与点p(x,y),角-α的终边与单位圆的交点p‘(x,-y),又因单位圆的半径r=1,由正弦线和余弦线的定义得到:α因此sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαp(x,y)sinα=ycosα=xsin(-α)=-ycos(-α)=xxoy于是我们得到一组公式(公式五)sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαp'(x,-y)-αM3、形如180°-α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系利用公式三和公式五,可以推出,当α为任意角时:sin(180°-α)=sin〔180°+(-α)〕=-sin(-α)=sinαcos(180°-α)=cos〔180°+(-α)〕=-cos(-α)=-cosαtan(180°-α)=tan〔180°+(-α)〕=tan(-α)=-tanα于是我们得到一组公式(公式二)sin(180°-α)=sinαcos(180°-α)=-cosαtan(180°-α)=-tanα4、形如360°-α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系利用公式一和公式五,自己推出:于是我们得到一组公式(公式四)sin(360°-α)=-sinαcos(360°-α)=cosαtan(360°-α)=-tanα公式一、二、三、四、五都叫做诱导公式:sin(°+α)=sinαcos(°+α)=cosαtan(°+α)=tanαcot(°+α)=cotα(k∈α)公式一公式三sin(180°+α)=-sinαcos(180°+α)=-cosαtan(180°+α)=tanαcot(180°+α)=cotα公式五sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式二公式四sin(180°-α)=sinαcos(180°-α)=-cosαtan(180°-α)=-tanαcot(180°-α)=-cotαsin(360°-α)=-sinαcos(360°-α)=cosαtan(360°-α)=-tanαcot(360°-α)=-cotα概括为:k360°+α(k∈Z),180°-α。180°+α,360°-α,-α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号除公式一、二、三、四、五外,还有诱导公式六、七、八、九:sin(90°-α)=cosαcos(90°-α)=sinαtan(90°-α)=cotαcot90°-α)=tanα公式六公式七sin(270°-α)=-cosαcos(270°-α)=-sinαtan(270°-α)=cotαcot(270°-α)=tanα公式八sin(270°+α)=-cosαcos(270°+α)=sinαtan