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【精品】数学分析教案.docx第一章实数集与函数第一章实数集与函数教学目的:使学生掌握实数的概念,建立起实数集确界的清晰概念;,熟悉与函数性态有关的一些常见术语。要求学生:理解并熟练运用实数的有序性、稠密性与封闭性;掌握邻域的概念;牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式;理解实数确界的定义及确界原理,并在有关命题证明中正确地加以应用;深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等函数的定义,熟悉函数的各种表示方法;牢记基本初等函数的定义、性质及其图象,会求函数的定义域,会分析函数的复合关系。教学重点:函数、确界的概念及其有关性质。教学时数:10学时§1实数(2学时)教学目的::理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性;牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式.(它们是分析论证的重要工具)教学难点::讲授.(部分内容自学)复****引新:仁实数集R::3•三歧性(即有序性):Rrchimedes性:><s>0. 3jk稠密性:有理数和无理数的稠密性,•两实数相等的充要条件:a Vb>0»:讲授新课:(一)・几个重要不等式:绝对值不等式:定义|仔卜8008{-} [1]:(1) |s6^ |«a|£1・ |iiua卜|Ji]⑵均值不等式:对 ER',记%)Ji(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)有平均值不等式:戶a:Cq:•聲(ql等号当且仅当叫・6 4时成立.⑶Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)v«>-l有不等式fl*!)- £: 由l*<>0JL => *Jt-1-Q+x)-*1-1*—♦!>⑷利用二项展开式得到的不等式:对¥*>•十亠¥“呼*有 (!+&)・>:.(1)2・(2)、(3) 3§2数集•确界原理(4时)教学目的:使学生掌握确界原理,建立起实数确界的清晰概念。教学要求:掌握邻域的概念;理解实数确界的定义及确界原理,并在有关命题的证明中正确地加以运用。教学重点:确界的概念及其有关性质(确界原理)。教学难点:确界的定义及其应用。教学方法:讲授为主。一、 区间与邻域二、 有界数集与确界原理:有界数集:定义(上、下有界,有界),闭区间、上为有限数)、邻域等都是有界数集,集合Ry-siix, :定义,(0,+®)等都是无界数集,集合£确界:(1) ^-ll+上尹}.则— hfg- .(2) ((Is)}贝U■FR■ rmFR■ 例2非空有界数集的上(或下)£和4是非空数集,且有2JL则有冲£2网人irfSSirf4・">€y是A的上界,=>s^)JlSy.=>A是8的下界,=»X£ 4和月为非空数集,S・j1UR试证明:泄£・*1{蛍&泄8]・<=▲或kwD由港/和港&分别是/和0的下界,有A或投亠 即血{还&试3J是数集S的下界,=>tf ^#|£ ,i£S是S的下界,=>t^S是上的下界,=> 同理有v£Siii£R于是有nt:X&mn(ifAMB}.综上,有d£・&»{皿・儿曲£}.数集与确界的关系:(2):设渥为数集.(1) 占的最值必属于&,但确界未必,确界是一种临界点.⑵非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.⑶若BiaKB存在,必有IBSKS"、确界原理:(确界原理)设S为非空数集。若S有上界,则S必有上确界;若S有下界,则S必有下确界。作业:P9:5;6;8§3函数概念(2学时)教学目的:使学生深刻理解函数概念。教学要求:深刻理解函数的定义以及复合函数、及函数和初等函数的定义,熟悉函数的各种表示方法;牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。会求初等函数的存在域,会分析初等函数的复合关系。教学重点:函数的概念。教学难点:初等函数复合关系的分析。一、函数:函数:[1JP10—::反函数:一一对应,:二、分段函数:以函数/(二)・(2, /(x)-3-|2x-:;;求皿心®例3设")・{;說+刃:M求畑(答案为8)函数的复合:例4 ■転«"SW-l-