矩阵在Hill密码的应用.doc

矩阵运算在Hill密码中的应用摘要代数研究最多最基本的便是矩阵。矩阵是代数最基本的概念,矩阵的运算是代数运算的基本内容。矩阵就是一个数表,而这个数表可以进行变换,以形成新的数表。如果你了解原始数表的含义,而且你可以从中抽象出某种变化规律,你就可以用代数的理论对你研究的数表进行变换,并得出你想要的一些结论。这次我们只是简单地介绍一下矩阵在密码学中的应用(与其说是简单介绍,不如说是我学****的不够深入,停在表面)。自二战起,密码学飞速发展,时至今日,DES可能已经成为世上最为广泛的分组密码算法了。此文所讲的是1997年为替代DES算法二创造的AES算法,其中涉及到矩阵运算、同余等知识,便以最基础的Hill密码为例。正文在介绍之前,我们先用一个简单的例子让我们对Hill密码有一个初步的认识。先设定26个英文字母与数字的对应关系如下:若要发出信息action,使用上述代码,则此信息的编码是:1,3,20,9,15,:⎛1⎫⎛9⎫⎛19⎫⎪⎪⎪b1=3⎪,b2=15⎪B=315⎪2014⎪20⎪14⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,写成矩阵现任选一个加密矩阵,例如⎛123⎫⎪A=112⎪012⎪⎝⎭,我们对原文进行加密,然后再发送,即⎛123⎫⎛1⎫⎛67⎫⎛123⎫⎛9⎫⎛81⎫⎪ç⎪⎪⎪ç⎪⎪Ab1=112⎪ç3⎪=44⎪,Ab2=112⎪ç15⎪=52⎪012⎪ç20⎪43⎪012⎪ç14⎪43⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,⎛123⎫⎛19⎫⎛6781⎫⎪ç⎪⎪AB=112⎪ç315⎪=4452⎪=C012⎪ç2014⎪4343⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭或者。对方收到信息后,可以依照事先规定的加密矩阵予以解密,⎛01-1⎫⎪A-1=2-2-1⎪-111⎪⎝⎭,以从中恢复明码,我们取⎛67⎫⎛01-1⎫⎛67⎫⎛1⎫⎛81⎫⎛9⎫⎪⎪ç⎪⎪⎪⎪A-144⎪=2-2-1⎪ç44⎪=3⎪,A-152⎪=15⎪43⎪-111⎪ç43⎪20⎪43⎪14⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,1-1⎫⎛6781⎫⎛19⎫⎛0⎪ç⎪⎪A-1C=2-2-1⎪ç4452⎪=315⎪-111⎪ç4343⎪2014⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。也即对照事先规定好的对应表,可以恢复明码,即action。当然,加密矩阵可以任取,只是要求可逆。上文所讲只是简单的Hill密码,要确保其安全性必须再叠加新的加密方法,即模26同余。为了方便理解,我们做如下定义。定义1对于一个元素属于集合Z的n阶方阵,若存在一个元素属于集合Z的方阵,使得AB=BA=I(modm),称A为模m可逆,B为A的模m-1B=A(modm)。逆矩阵,记为定义2对Z的一个整数a,若存在Z的一个整数b,使得ab=1-1b=a(modm)。(modm),称b为a的模m倒数,记作有了以上定义,我们便可以进行稍复杂的加密了,下面我们举一个例子。例:把GeneralRobertswasshot按照Hill密码的方法加密。这次我们换一个编码次序,不妨将A、B〃〃〃〃〃〃Y、Z与1、2〃〃〃〃〃〃25、0,分别对应,然后将明文两两分组,分组方式任取,此处便以常用简单的两两分组,若为奇数个可在末尾添加任意字母,此处不妨取t,即为GeneralRobertswasshott,按照对应规则转化则为⎛7⎫⎛14⎫⎛18⎫⎛12⎫⎛15⎫⎛5⎫q1=⎪q2=⎪q3=⎪q4=⎪q5