热传导方程(扩散方程).ppt

?从不同的物理模型出发,建立数学物理中三类典型方程?根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出定解条件?提出相应的定解问题第一章数学建模和基本原理介绍§ 数学模型的建立?数学模型建立的一般方法:?确定所研究的物理量;?建立适当的坐标系;?划出研究小单元,根据物理定律和实验资料写出该单元与邻近单元的相互作用,分析这种相互作用在一个短时间内对所研究物理量的影响,表达为数学式;?简化整理,得到方程。2 2 热传导动方程热传导动方程第一节热传导方程的导出和定解条件一、热传导方程的导出:给定一空间内物体,设其上的点在时刻的温度为。模型:问题:研究温度的运动规律。G( , , )x y zt( , , , )u x y z t( , , , )u x y z t分析:(两个物理定律和一个公式)分析:(两个物理定律和一个公式)1、热量守恒定律:2、傅里叶(Fourier)热传导定律:温度变化吸收的热量通过边界流入的热量?热源放出的热量?( , , ) ,udQ k x y z dS dtn????为热传导系数。( , , )k x y z3、热量公式:Q cmu?任取物体内一个由光滑闭曲面所围成的区域,研究物体在该区域内热量变化规律。1Q热传导方程的推导:GS??热量守恒定律区域内各点的温度从时刻的温度改变为时刻的温度所吸收(或放出)的热量,应等于从时刻到时刻这段时间内通过曲面流入(或流出)内的热量和热源提供(或吸收)的热量之和。即?1t2t1( , , , )u x y z t2( , , , )u x y z t1t2tS?内温度变化所需要的热量=通过曲面流入内的热量+热源提供的热量?QS?2Q下面分别计算这些热量( , , ),c c x y z?(1)内温度变化所需要的能量?QG那么包含点的体积微元的温度从变为所需要的热量为1C?2 1[ ( , , , ) ( , , , )]dQ c u x y z t u x y z t dV?? ?dV设物体的比热(单位质量的物体温度改变所需要的热量为密度为( , , ),x y z? ??( , , )x y z1( , , , )u x y z t2( , , , )u x y z t整个内温度变化所需要的能量?Q2 21 12 1[ ( , , , ) ( , , , )]( ) [ ] ()t tt tQ dQ c u x y z t u x y z t dVu uc dt dV c dV dtt t?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ???? ?????? ? ????(2)通过曲面进入内的热量?1QS?由傅里叶热传导定律,从到这段时间内通过进入内的热量为2t1tS211( , , ) ,ttSuQ k x y z dS dtn???? ??由高斯公式xSdivAdxdydz A ndS????? ???知211[ ( ( ) ( ) ( )) ] .()ttu u uQ k k k dV dtx x y y z z?? ?????? ??? ?????? ???(3)热源提供的热量?2Q?用表示热源强度,即单位时间内从单位体积内放出的热量,则从到这段时间内内热源所提供的热量为( , , , )F x y z t2t1t212[ ( , , , ) ] ()ttQ F x y z t dV dt??? ???由热量守恒定律得:2 21 121[ ] [ ( ( ) ( ) ( )