三角公式在换元积分法中的应用.doc

三角公式在换元积分法中的应用数有一般求积分的途径外,大多数的函数甚至以上这几种特殊函数几乎全凭直觉,灵感,想象和经验从各种可能的计算途径中选出可行的或简单的积分捷径,其中尤以换元积分法最为突出,而在换元法中三角公式及三角代换又是用的较多的,现举例说目之一,第一换元法}1a:当/2,m中至少有一个为奇数时,不妨设m=2k+?COSX即rl--)?-(1一sinx)dsinxf:J(sinx一2sinX+)dsinx一吉sinsx一号sinx+吉sin9x+,m均为偶数时,则先用倍角公式而后归为A型或C型,对属于C型的再用所述方法,)()d()d一Fc)+一FA‘Jfsinxcosxdx;』f(cosx)sinxdx』();JJ(tg);(.tgx)~uc0sx;;”ctgx;B对形如Jf(arcsinx)dx:jf(osx);Jf(arctgx);jf(tgx)—arcsinx;u—osx;u=arctgxu=arc—,才归结为换元法求解,-COSxdx的积分怍者简介:石会蒋培州师专物理系教师河北池州061001收蒋日期J999年12月6日例!求』i.:d原式一』zza一lf(1cosex,izza一1j(1cos4xa』.—c一而一虬”;.dx;fsinmxsinnxdx;Jcosmxcosnxdx的积分,先利用积化和差公式,,第二换元法()dx[)(1)dt=F(t)+.:F[(x)]+这实际上是反过来应用第一换元法运用这种积分法时,关键是设法引入代换x一(c),而x一(t)的?4j?沧州师范专科学校第16卷选取有很大的任意性,因此用第二换元法解题的灵活性也很大,但对经常遇到的一些不定积分还是有些规律的,如被积函效中含有因子A:=则令x—ashat(一詈<t<罢)或令x一&OOst(0<t<)B:干ii则令x=atgt(一詈<t<昙)或令x—actgt(0<t<)C:/】则令x—asect(o<t<要)或令X=BC-sct(0<t<要)即可去掉被积函数中的无理式,,其他虽然有理函效的积分和=角函数有理式的积分6-一般规律可循,但由于三解函数形式的可变性,导致了三角函数积分的灵