高二数学竞赛辅导第三讲立体几何解题的基本策略一、点、线、面间关系的转化立体几何的知识告诉我们,最核心的内容是线面间的的垂直、平行关系,而它们又通过判定定理、性质定理而相互转化。定理的应用过程实质上就是下述诸关系的联系与转化。点面点点——点线————————线面——面面线线例1(如图)二面角α—AB—β的平面角为300,在β上作AD⊥AB,AD=10,过D作CD⊥α于D,若∠ACB=600,求AC与BD的距离。解作BE∥AC,CE∥AB,连EC,ED,则AC∥面BCE,,⊥α知,DC⊥AC;又AD⊥AB,根据三垂线定理,AC⊥∥AC,故AC⊥⊥面CDE。又BE∥AC,得BE⊥面CDE,进而面BDE⊥面CDE,在Rt∆CDE上作高CH,由Rt∆ACD中,∠CAD==10,得AC=5,CD=5;又在Rt∆ABC中,∠ACB=600,有CE=AB=AC=15,最后在Rt∆ACD中,由CE=AB=15,得DE=5,从而CH==三个步骤:一、线线距离转化为线面距离ABCDEH二、再转化为点面距离三、计算距离二、平面化的思考在空间,选取一个恰当的平面,使问题在这个平面上获得突破性的进展,甚至全部解决,是一种自然而重要的思考,怎样选取平面呢?有以下几个主要方法1、截面法2、隔离法3、展平法4、投影法例2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中,设∆C1D1B所在的半平面为α,∆CD1B所在的半平面为β,BD1所在的直线是α与β的交线。求二面角α—BD1—β的度数ABCDA1B1C1D1MN因为二面角的平面角的度数是由相应平面角的来表示的,所以解题的一个方向是找平面角。分析解在平面ABC1D1上,由点A向BD1引垂线,与BD1交于M,与BC1交于N,连CM,由于正方体关于面BB1D1D的对称性,必有CM⊥BD1,因此,∠NMC就是二面角的平面设正方体的棱长为,则AC2=CD12=2a2,AM2=MC2=a2,在∆AMC中,由余弦定理得∠AMC=1200,从而∠MAC=600,即二面角α—BD1—β的度数为600。MCDABNABCDMN例5、若空间四边形的两组对边相等,则两条对角线的中点连线垂直对角线。三、图形变换证明如图,空间四边形ABCD中,M,N是对角AC,BD的中点,现将A与C交换,B与D交换,得到同一位置的空间四边形,而这个四边形又可看作一个绕着某一轴(轴对称)旋转1800得到另一个,由A与C关M于对称,B与D关于N对称知,对称轴必经过MN,从MN⊥AC,MN⊥BD。ABCDMMCDABN证明2、将∆ACD绕AC展平到面ACD上,得ABCD,则BD与AC相交与M,BM=MD。再将图形复原,由BM=MD,BN=ND知MN是等腰三角形∆MBD底边上的高,有MN⊥BD。同理MN⊥AC。DCBANM图形变换包括1、空间的对称2、空间的旋转3、空间的折叠4、空间的展平直观上补充成为长方体,则MN是上下底面中心的连线,它与上下底面都垂直,当然是同时垂直于AC,BD.
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