线性代数 1.3按行(列)展开.ppt

§(列)(列)(列)展开1一、定义n阶行列式中,划去元素aij所在的第i行和第j列元素,余下的元素按原来顺序构成一个n-1阶行列式,称为元素aij的余子式,记做Mij。称为元素aij的代数余子式。【注】(列)(列)展开2如四阶行列式的余子式:代数余子式:12)1(111111-=-=+MA21101**********---=D21111111311--=M=-12纺脱椿螺娃篇琢企乒嗽寺箍察矢葛***(列)(列)展开3四阶行列式的余子式:代数余子式:21101**********---=D321011102123-==M3)1(233223=-=+(列)(列)展开4定理:n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式的乘积之和,即或二、(列)(列)展开5说明:该定理可作为行列式的等价定义。按某行(列)展开,本质是对行列式降阶,是降阶简化计算行列式的重要方法,特别适用于某行(列)零元较多的情形。证明思路:(详细证明见教材)1°两边项数相同;2°右边各项都是D中的项;3°右边各项的符号与在D中的符号相同。(列)(列)展开6例1利用行列式的展开计算行列式的值【评注】一般应选取零元素最多的行或列进行展开;或者选取一行或列,利用行列式的性质5,将这一行或列的元素尽可能多的化为零,然后按这一行或列进行展开;这样方便计算。(列)(列)展开7解将行列式按第1列展开D=2-(-2)=-(列)(列)展开8推论:行列式D的任一行(列)的元素与另一行(列),如果令第i行的元素等于另外一行,譬如第k行的元素,(列)(列)展开9第i行=【注】Aij既是D1中第i行第j列元素的代数余子式,也是D中第i行第j列元素的代数余子式。(列)(列)展开10