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奇偶性与单调性及典型例题————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 奇偶性与单调性及典型例题函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一,***生深刻理解奇偶性、单调性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数的图象. 难点磁场(★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数,(1)求a的值;(2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数. 案例探究[例1]已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,f()=-1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明: (1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减. 命题意图:本题主要考查函数的奇偶性、★★★★题目. 知识依托:奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想. 错解分析:本题对思维能力要求较高,如果"赋值"不够准确,运算技能不过关,结果很难获得. 技巧与方法:对于(1),获得f(0)的值进而取x=-y是解题关键;对于(2),判定的范围是焦点. 证明:(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=-f(-x).∴f(x)为奇函数. (2)先证f(x)在(0,1)上单调递减. 令0<x1<x2<1,则f(x2)-f(x1)=f(x2)-f(-x1)=f() ∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,∴>0, 又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0 ∴x2-x1<1-x2x1, ∴0<<1,由题意知f()<0,即f(x2)<f(x1). ∴f(x)在(0,1)上为减函数,又f(x)为奇函数且f(0)=0. ∴f(x)在(-1,1)上为减函数. [例2]设函数f(x)是定义在R上的偶函数,并在区间(-∞,0)内单调递增,f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1).求a的取值范围,并在该范围内求函数y=()的单调递减区间. 命题意图:本题主要考查函数奇偶性、★★★★★级题目. 知识依托:逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题. 错解分析:逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱. 技巧与方法:本题属于知识组合题类,关键在于读题过程中对条件的思考与认识,通过本题会解组合题类,掌握审题的一般技巧与方法. 解:设0<x1<x2,则-x2<-x1<0,∵f(x)在区间(-∞,0)内单调递增, ∴f(-x2)<f(-x1),∵f(x)为偶函数,∴f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x1), ∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0,+∞)内单调递减. 由f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)得:2a2+a+1>3a2-2a+,得0<a<3. 又a2-3a+1=(a-)2-. ∴函数y=()的单调减区间是[,+∞] 结合0<a<3,得函数y=()的单调递减区间为[,3). 锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有: (1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数,严格按照定义判断,注意变换中的等价性. 若为抽象函数,在依托定义的基础上,用好赋值法,注意赋值的科学性、合理性. 同时,注意判断与证明、讨论三者的区别,针对所列的"磁场"及"训练"认真体会,用好数与形的统一. 复合函数的奇偶性、:既把握复合过程,又掌握基本函数. (2)加强逆向思维、,下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用. 歼灭难点训练一、选择题 1.(★★★★)下列函数中的奇函数是() (x)=(x-1) (x)= (x)= (x)= 2.(★★★★★)函数f(x)=的图象() =1对称二、填空题 3.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数,则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________. 4.(★★★★★)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0(0<x1<x2),且在[x2,+∞上单调递增,则b的取值范围是_________. 三、解答题 5.(★★★★)已知函数f(x)=ax+(a>1). (1)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根. 6.(★★★★★)求证函数f(x)=在区间(1,+∞)上是减函数