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定积分计算公式和性质————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 第二节定积分计算公式和性质一、变上限函数设函数在区间上连续,并且设x为上的任一点,于是,在区间上的定积分为这里x既是积分上限,又是积分变量,由于定积分与积分变量无关,故可将此改为如果上限x在区间上任意变动,则对于每一个取定的x值,定积分有一个确定值与之对应,所以定积分在上定义了一个以x为自变量的函数,我们把称为函数在区间上变上限函数记为图5-10从几何上看,也很显然。因为X是上一个动点,从而以线段为底的曲边梯形的面积,必然随着底数端点的变化而变化,所以阴影部分的面积是端点x的函数(见图5-10)定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的,有时甚至无法计算。因此,必须寻求计算定积分的简便方法。我们知道:如果物体以速度作直线运动,那么在时间区间上所经过的路程s为图5-11另一方面,如果物体经过的路程s是时间t的函数,那么物体从t=a到t=b所经过的路程应该是(见图5-11)即由导数的物理意义可知:即是一个原函数,因此,为了求出定积分,应先求出被积函数的原函数,再求在区间上的增量即可。如果抛开上面物理意义,便可得出计算定积分的一般方法:设函数在闭区间上连续,是的一个原函数,即,则这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。为了使用方便,将公式写成牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系,提供了计算定积分有效而简便的方法,从而使定积分得到了广泛的应用。例1计算因为是的一个原函数所以例2求曲线和直线x=0、x=及y=0所围成图形面积A(5-12)解这个图形的面积为图5-12二、定积分的性质设、在相应区间上连续,利用前面学过的知识,可以得到定积分以下几个简单性质:性质1被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面,即(A为常数)性质2函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和,即这个性质对有限个函数代数和也成立。性质3积分的上、下限对换则定积分变号,即以上性质用定积分的定义及牛顿-莱布尼兹公式均可证明,此处证明从略。性质4如果将区间分成两个子区间及那么有这个于区间分成有限个的