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定积分论文————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: §1定积分概念教学要求:知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等,以及解决这些实际问题的数学思想方法;深刻理解并掌握定积分的思想:分割、近似求和、取极限,进而会利用定义解决问题;教学重点:、问题背景:;、定积分的定义从上面两个例子看出,不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功,它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”,或者说都归结为形如的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来,作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义定义设是定义在区间上的一个函数,在闭区间上任取n-1个分把[a,b]分成n个小闭区间,我们称这些分点和小区间构成的一个分割,用T表示,分割的细度用表示,在分割T所属的各个小区间内各取一点称为介点,作和式以后简记为此和式称为在上属于分割T的积分和(或黎曼和,设是一个确定的数,若对任意总存在某个,使得上的任何分割T,只要它的细度,属于分割T的所有积分和都有则称在上可积,称J为函数在区间上的定积分(或黎曼积分),记作其中称为积分函数,称为积分变量,称为积分区间,分别称为积分的上限和下限。利用积分的定义,:1)定积分定义与我们前面讲的函数极限的“”定义形式上非常相似,但是两者之间还是有很大差别的。对于定积分来说,给定了细度以后,积分和并不唯一确定,同一细度分割由无穷多种,即使分割确定,介点仍可以任意选取,所以积分和的极限比前面讲的函数极限要复杂的多。2)定积分是积分和的极限,积分值与积分变量的符号无关3)表示分割越来越细的过程,分点个数,但反过来并不能保证,所以不能写成四、举例:例1 ,.取.=.由函数在区间上可积, 已知函数在区间上可积,,,但却表明该极限值就是积分.§2牛顿—莱布尼茨公式教学目标:熟练掌握和应用牛顿-:牛顿—莱布尼茨公式.(1)基本要求:熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式.(2)较高要求:,下面将要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法,而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。定理9-1若函数在上连续,且存在原函数,则在上可积,且这即为牛顿—莱布尼茨公式,也常记为。证:给定任意一个分割:,,这里,,用了Lagrange中值定理。,由Cantor定理,在一致连续,所以,,只要,,就有。于是,当时,对,有。注1:在实际应用中,定理的条件是可以适当减弱的,如:在上连续,在内可导,且。而只要在上可积即可。注2:本定理对的要求是多余的。设在可积(不一定连续),又设在上连续,并且在上,,则。证:任给一分割,由Lagrange中值定理,。因在可积,令,则上式右边。所以。例1、利用牛顿—莱布尼茨公式计算下列定积分:1)(n为整数);2)(0<a<b);3);4);5).§3可积条件教学目标:理解定积分的充分条件,:定积分的充分条件和必要条件;可积函数类(1)基本要求:掌握定积分的第一、二充要条件.(2)较高要求:、可积的必要条件定理9-2若函数在上可积,则在上必有界。证: (反证法)  若函数在上无界,对于的任意分法                 则至少存在一个子区间,不妨设为,在其上无界。对于任取的,注意到                  其中。于是对于任意取定的,。因在上无界,对于任意给定,,使得可见对于的任意分法,,使得可见积分和无界,从而函数在上不可积,此与假设相矛盾。注:该定理指出任何可积函数一定是有界,但要注意的是:有界函数不一定可积。例1、证明狄利克雷函数在上有界但不可积。证:对于的任意分法              根据有理数和无理数在数轴上的稠密性,在的没一个子区间上既有有理数,也有无理数。若取,且是上的有理数,则积分和若取,且是上的无理数,则积分和从而,,根据定义3知,在上不可积。二、可积的的充要条件要判断一个函数是否可积,由定义,可直接考察积分和是否能无限接近某一常数,但由于积分和的复杂性和那个常数不可预知,因此这是极其困难的。下面即将出的可积准则只与被积函数本身有关,而不涉及定积分的值。设T={