Banach空间中常微分方程解的存在与唯一性定理.doc

空间中常微分方程解的存在唯一性定理魏婷婷(天水师范学院数学与统计学院,甘肃,天水,741000)摘要:在空间中,常微分方程解的存在唯一性定理中,初值问题的解的变量在上变化,把的变化范围扩大为,为此给出变化范围后的空间中常微分方程解的存在唯一性定理,:存在唯一;常微分方程;数学归纳法;皮卡逐步逼近法;空间引言常微分方程解的存在唯一性定理明确地肯定了在一定条件下方程的解的存在性和唯一性,它是常微分方程理论中最基本且实用的定理,有其重大的理论意义,另一方面,,解的存在区间较小,只限制在一个小的球形邻域内,(球形邻域的半径若为,还需满足,且解只在以为中心以为半径的闭球存在唯一,其中是空间),,,即存在常数,使得不等式,,在内,以为中心作一个半径为的闭球,对所有的都成立,且有,取,则存在唯一的曲线,使得在上满足,并有,.2结果与证明笔者通过改进对的限制,即仅取,预备定理仍然成立,,设初值为,则存在唯一的曲线,对任意的,满足,且使得,.显然可有,,只就区间进行讨论,,等价于求积分方程.(1),将它代入方程(1)的右端,可得到函数,显然,,则可知就是方程(1),我们又把代入积分方程(1)的右端,,则可知就是方程(1),我们如此下去,可作连续函数,.(2)这样就得到连续函数列若,那么就是积分方程的解,如果始终不发生这种情况,我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数,即存在,因而对(2)式两边取极限时,就得到,即,这就是说,,,满足初值条件(3)的解,则是积分方程定义于上的连续解,,,,把(3)式代入上式,即有,.(4)因此,是(4),如果是(4)的连续解,,.微分之,(4)式,得到,因此,是方程的定义于区间,且满足初值条件(3),构造皮卡逐步逼近函数序列如下(5)命题2对于所有的,(5)中函数在上有定义,,如下,对于任意,,当时,,显然在上有定义,,也即在上有定义,连续且满足不等式,,命题2当时成立,则可知在上有定义,连续且有当时,即命题2当时也成立,,,(6)(6)式级数的部分和为,因此,要证明函数序列在上一致收敛,我们仅证明级数(6),我们可进行如下计算,由,(7)及,利用利普希茨条件及(7)式可知对于任意的为正整数,,当时,有为此,由数学归纳法可知,对于所有的正整数,可有如下的式子成立,,.因此可有,当,(8)(8),级数(6)在上是一致收敛的,因此序列也在上一致收敛,,为此也在上连续,且由命题2又可知,,且函数列逐项连续,(5)式两边取极限,得到即,这就是说,(证明解的唯一性)设是积分方程定义于上的另一个连续解,则,.,从,,,可以进行如下的估计,现在我们可以假设,则有故由数学归纳法得知,对于所有的正整数,有下面的估计式,于是我们可知在上有,(9)是收敛级数的公项,且当时,.,即可知,.~5,:,的解的存在区间,并求第二次近似解,,在上函数的利普希茨常数可取,因为