实变函数习题解答.doc

实变函数****题解答()————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 第一章****题解答1、证明A(BC)=(AB)(AC)证明:设xA(BC),则xA或x(BC),若xA,则xAB,且xAC,从而x(AB)(AC)。若xBC,则xB且xC,于是xAB且xAC,从而x(AB)(AC),因此A(BC)(AB)(AC)……………(1)设x(AB)(AC),若xA,则xA(BC),若xA,由xAB且xAC知xB且xC,所以xBC,所以xA(BC),因此(AB)(AC)A(BC)……………(2)由(1)、(2)得,A(BC)=(AB)(AC)。2、证明①A-B=A-(AB)=(AB)-B②A(B-C)=(AB)-(AC)③(A-B)-C=A-(BC)④A-(B-C)=(A-B)(AC)84⑤(A-B)(C-D)=(AC)-(BD)⑥A-(A-B)=AB证明:①A-(AB)=AC(AB)=A(CACB)=(ACA)(ACB)=(ACB)=A-B(AB)-B=(AB)CB=(ACB)(BCB)=(ACB)=A-B②(AB)-(AC)=(AB)C(AC)=(AB)()=(ABCA)()=[A(BCC)]=A(B-C)③(A-B)-C=(=AC(BC)=A-(BC)④A-(B-C)=AC(BCC)=A(CBC)=(ACB)(AC)=(A-B)(AC)⑤(A-B)(C-D)=(ACB)(CCD)=(AC)(CBCD)=(AC)C(BD)=(AC)-(BD)⑥A-(A-B)=AC(ACB)=A(CAB)=(ACA)(AB)=(AB)=AB3、证明:(AB)-C=(A-C)(B-C)85A-(BC)=(A-B)(A-C)证明:(AB)-C=(=(ACC)(BCC)=(A-C)(B-C)(A-B)(A-C)=(ACB)(ACC)=(AA)()=AC(BC)=A-(BC)4、证明:()=证明:设(),则,于是,、,从而,所以,,所以,()。86设,则、,即,于是,,即(),所以(),由以上两步得()=5、证明:①()-B=(-B)②()-B=(-B)证明:①()-B=()CB=(CB)=(-B)②()-B=()CB=(CB)=(-B)876、设{}是一列集合,作=,=-()>1。证明是一列互不相交的集,而且=,=1,2,3,…。证明:设≠,不妨设<,因为,[-()]=[(C)]=[C(C)]=(C)(C)=()=∴=,{}互不相交。∵,∴=。88另一方面,设,则存在最小的自然数,使,,∴-=,∴∴=。7、设=(0,),=(0,),=1,2,…,求出集列{}的上限集和下限集。解:。∵=(0,),=(0,),∴。=()==(0,)=(0,∞)==(0,∞)=(0,∞)=()=89=(0,)=∴===。8、证明:=证明:,≥,有,,∴=。9、作出一个(-1,1)和(-∞,+∞)的1—1对应,并写出这一对应的解析表达式。解:y=tg,(-1,1),y(-∞,+∞)。10、证明将球面去掉一点以后,余下的点所成的集合和整个平面上的点所成的集合是对等的。90证明:用P表示在球面上挖去的那一点,P与球心O的连线交球面于M,过M作球面的切平面,过P点和球面上任一点引直线,该直线与平面交于,将与对应,P与M对