第3章 维纳滤波器.pdf

第3章维纳滤波器HANGZHOU正交性原理与Wiener-Hopf方程DIANZIUNIVERSITYWiener-Hopf方程求解误差性能曲面的几何性质第第22页页xn()=+sn()vn()hn()y()nsn=ˆ()最佳滤波器维纳滤波器是最佳滤波器,需要已知信号和噪声的统计HANGZHOU特性;DIANZIUNIVERSITY维纳滤波器的最优准则是最小均方误差准则(MMSE);维纳滤波器的参数是固定的,而自适应滤波器的参数是时变的,故维纳滤波器不是自适应滤波器;第第33页页x(n)观察/测量数据s(n)真实信号v(n)加性噪声/干扰sˆ(nxnhn)=()∗=()hixni()(−)线性估计问题HANGZHOUDIANZI∑iUNIVERSITYe(n)()=sn−sˆ(n)估计误差2ξ(nEen)==⇒⎣⎦⎡⎤()minhn()最小均方误差(MMSE)估计维纳滤波->:44页页平滑N−1sˆ()nhnixi=−∑()()i=0滤波nHANGZHOUsnˆ()=−∑hn(ixiDIANZI)()UNIVERSITYi=0预测n−1snˆ()=−∑hn(ixi)()in=−−1p这里我们只考虑滤波或预测问题,相应的维纳滤波称为最佳线性滤波或预测。第第55页页nsˆ()n=∑hix()(n−i,n=)0,1,
,N−1i=0⎡sˆ()0⎤⎡h0()00
0⎤⎡x(0)⎤⎢()()⎥⎢()⎥⎢sˆ()1⎥h1h00
0x1HANGZHOU⎢()⎥⎢()DIANZI()UNIVERSITY()⎥⎢()⎥⎢sˆ2⎥=⎢h2h1h0
0⎥⎢x2⎥⎢⎥⎢⎥⎢()
⎥
()()()
()
()⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎢sˆN−1⎦⎥⎣⎢hN−1hN−2hN−3
h0⎦⎥⎣⎢xN−1⎦⎥问题在于估计滤波器的参数/-,设xn()=+sn()vn()hn()y()nsn=ˆ()输入=信号+噪声对s(n)的最佳估计误差:HANGZHOUen()=−sn()snˆ()DIANZI可看成均值为UNIVERSITY0的随机变量均方误差:Ee[22(n)]=−E{[sn()snˆ()]}设计维纳滤波器的过程,即寻求使均方误差最小的滤波器单位脉冲响应h(n)或系统函数H(z)。第第77页页y()nsnxnhn==∗ˆ()()()∞=−∑hm()(xnm)m=0又因为实际只能观测到有限个数据,设为N个,所以N−1HANGZHOUsnˆ()DIANZI=−∑hmxn()(UNIVERSITYm)m=0信号sn()的估值snˆ()是N个观测数据的线性组合,组合系数hn(),即为待求维纳滤波器的单位脉冲响应。维纳滤波器对应一个长度为N的FIR数字滤波器。第第88页页令、hm()=−=hiixn(m)x,则N−1ˆsn()=∑hxiii=0若,则eenssnssn→→→(),(),ˆˆ()Ee[22(n)]=−E{[sn()snˆ()]}HANGZHOU可表示为DIANZIUNIVERSITY2⎡⎛⎞N−1⎤22ˆE[]eEss=−[()]=−E⎢⎜⎟∑hxiis⎥⎣⎢⎝⎠i=0⎦⎥——均方误差性能函数表达式第第99页页2hEei的选择要使得[]最小,须∂Ee[]2⎡⎤⎡∂∂()ee2()⎤=0EEeEex⎢⎥⎢=22[]0⎥==i∂hi⎣⎦⎣∂∂hhii⎦iN=0,1,
,−1HANGZHOU得到:DIANZIUNIVERSITYEex[i]=0i=−0,1,
,N1或⎡⎤⎛⎞N−1Ehxsx⎢⎥⎜⎟∑jj−i==−0i0,1,
,N1⎣⎦⎢⎥⎝⎠j=0——,滤波系数{}hi的选择应使估计误差exiN与所有的观测值i正交,0,1,,1其中=−
。推论要使估计的均方误差最小,滤波系数{}hi的选择应使HANGZHOU估计误差es与估计值(观测值的线性组合)正交,其DIANZIˆUNIVERSITY中。iN=−0,1,
,1s例如:N=2ess=−ˆees最小,仅当与ˆ正交时x0hxex⊥→⊥esˆ00isˆx满足正交原理满足MMSE条件hx111