培优二：立体几何中的折叠与展开问题.doc

立体几何中的折叠与展开问题折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题,这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现。一、翻折问题的关键有二:①画好两个图——翻折前的平面图和翻折后的立体图;②分析好两个关系——翻折前后哪些位置关系和度量关系发生了变化,哪些没有改变,一般地,在同一半平面内的几何元素之间的关系是不变的,涉及到两面二个半平面内的几何元素之间的关系是要变化的,分别位于两个半平面内但垂直于翻折棱的直线翻折后仍然垂直于翻折棱。二、求从一点出发沿几何体表面到另一点的最短距离问题:通常把几何体的侧面展开,转化为平面图形中的距离问题。一、,AD⊥BC,ED=2AE,过E作FG∥BC, 且将ΔAFG沿FG折起,使∠A'ED=60°,求证:A'E⊥平面A'BC解析:弄清折叠前后,图形中各元素之间的数量关系和位置关系。解:∵FG∥BC,AD⊥BC∴A'E⊥FG∴A'E⊥BC设A'E=a,则ED=2a由余弦定理得:A'D2=A'E2+ED2-2?A'E?EDcos60°=3a2 ∴ED2=A'D2+A'E2 ∴A'D⊥A'E ∴A'E⊥平面A':D、E是是等腰直角三角形ABC中斜边BC的两个三等分点,沿AD和AE将△ABD和△ACE折起,使AB和AC重合,求证:平面ABD⊥:过D作DF⊥AB交AB于F,连结EF,计算DF、EF的长,又DE为已知,三边长满足勾股定理,∴∠DFE=;2、折叠与展开中的距离与体积问题例2:一个正三棱锥A—BCD,底面边长和侧棱长都为a,过B作与侧棱AC、AD相交的截面,在这截面三角形中(1)周长的最小值;(2)此时的截面面积。DIY2:长方体的长、宽、高分别为a、b、c(a>b>c),沿着长方体的表面的对角线的一个端点到另一个端点的最短路线的长为__________________。略解:摊平,有三种路线,因为a>b>c,—A1B1C1中,各棱长均为2,M为AA1中点,N为BC的中点,在棱柱表面上从点M到点N的最短距离是多少?解析:(1)从侧面到N,如图1,沿棱柱的侧棱AA1剪开,并展开,则MN===(2)从底面到N点,沿棱柱的AC、BC剪开、展开,===∵< ∴=.,矩形ABCD中,AB=2,BC=2,以AC为轴翻折半平面,使二平面角B—AC—D为120°,求:翻折后,D到平面ABC的距离;解析:研究翻折问题,通常要画出翻折前的平面图形和翻折后的空间图形,:分别过B、D作AC的垂线,垂足是E、F,过F作FB′∥BE,过B作BB′∥AC,交点B′,则四边形EFB′B是矩形.∵AC⊥DF,AC⊥B′F,∴AC⊥平面B′FD,即∠DF′B就是二面角B—AC—D的平面角,∠DFB′=120°.过D作DO⊥B′F,垂足为O.∵DO平面DFB′,AC⊥平面DFB′.∴DO⊥AF,DO⊥,CD=2,AD=2,∴DF=,OD=DF·sin60°=.△ABC的边长为3,D、E分别是边BC上的三等分点,沿AD、AE把△ABC折成A-DEF,使B、C两点重合于点F,且G是DE的中点(1)求证:DE⊥平面AGF (2)、折转展中的综合问题例5 已知正方形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,将△ADE沿DE折起,如图所示,记二面角A-DE-C的大小为.()证明平面ADE;()若△ACD为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上,证明你的结论,:此题为典型的“折叠”问题,在折叠前后,△ADE与梯形BCDE的形状和大小保持不变,只是位置发生了变化,:()证明:因为E、F分别为正方形ABCD的边AB、CD的中点,EB//FD且EB=FD,//ED,又,平面.()点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上. 证明如下:过点A作AG⊥平面BCDE,垂足为G,连结GC、GD,ACD为正三角形,则AC=AD,GC=GD,G在CD的垂直平分线上,又EF垂直平分CD,⊥ED于H,连结AH,则,所以即为二面角A-DE-,设原正方形的边长为2a,则在折叠后的AEF中,AF=,AE=a,EF=BC=2a,所以AE2+AF2=EF2,则AEF为直角三角形,于是,,在RtADE中,,,,:如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=CD=a,AD=BC=2a,∠A=600,AC与BD交于E,将其沿对角线B