步步高2015高考数学(人教A理)一轮讲义 7.3基本不等式和应用.doc

§ ≤(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.(2)等号成立的条件:当且仅当a=(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).(2)+≥2(a,b同号).(3)ab≤2(a,b∈R).(4)≥2(a,b∈R).>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,>0,y>0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2.(简记:积定和最小)(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是.(简记:和定积最大)(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y=x+的最小值是2. ( × )(2)ab≤()2成立的条件是ab>0. ( × )[来源:](3)函数f(x)=cosx+,x∈(0,)的最小值等于4. ( × )(4)x>0且y>0是+≥2的充要条件. ( × )(5)若a>0,则a3+的最小值为2. ( × )(6)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R). ( √)>1时,关于函数f(x)=x+,下列叙述正确的是( )(x)有最小值2 (x)(x)有最小值3 (x)有最大值3答案 ,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )+b2>2ab +b≥2C.+> D.+≥2答案 D解析∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴、C,当a<0,b<0时,,∵ab>0,∴+≥2=,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=2,则+的最大值为( ) B. C解析由ax=by=3,得:x=loga3,y=logb3,由a>1,b>1知x>0,y>0,+=log3a+log3b=log3ab≤log32=1,当且仅当a=b=时“=”成立,则+.(2013·天津)设a+b=2,b>0,则当a=________时,+取得最小值.[来源:中_教_网z_z_s_tep]答案-2解析由于a+b=2,所以+=+=++,由于b>0,|a|>0,所以+≥2=1,因此当a>0时,+的最小值是+1=;当a<0时,+的最小值是-+1=.故+的最小值为,此时即a=- (1)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则+的最小值为________;(2)当x>0时,则f(x)=(1)问把+中的“1”代换为“2x+y”,展开后利用基本不等式;第(2)问把函数式中分子分母同除“x”,(1)3+2 (2)1解析(1)∵x>0,y>0,且2x+y=1,∴+=+=3++≥3+=时,取等号.(2)∵x>0,∴f(x)==≤=1,当且仅当x=,即x=(1)利用基本不等式求函数最值时,注意“一正、二定、三相等,和定积最大,积定和最小”.(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式,可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形,使之能够使用基本不等式. (1)已知正实数x,y满足xy=1,则(+y)·(+x)的最小值为________.(2)已知x,y∈R+,且满足+=1,(1)4 (2)3解析(1)依题意知,(+y)(+x)=1+++1≥2+2=4,当且仅当x=y=1时取等号,故(+y)·(+x)的最小值为4.(2)∵x>0,y>0且1=+≥2,∴xy≤=[来源:]例2 (1)已知f(x)=32x-(k+1)3x+2,当x∈R时,f(x)恒为正值,则k的取值范围是( )A.(-∞,-1) B.(-∞,2-1)C.(-1,2-1) D.(-2-1,2-1)(2)已知函数f(x)=(a∈R),若对于任意x∈N*,f(x)≥3恒成立,,(1)B (2)[-,+∞)解析(1)由f(x)>0得32x-(k+1)·3x+2>0,解得k+1<3x+,而3x+≥2(当且仅当3x=,即x=log3时,等号成立),∴k+1<2,即k<2-1.(2)对任意x∈N*,f(x)≥3恒成立,即≥3恒成立,即知a≥-(x+)+(x)=x+,x∈N*,则g(2)=6,g(3)=.∵g(2