常微分方程数值解.doc

第八章常微分方程数值解姓名学号班级****题主要考察点:欧拉方法的构造,单步法的收敛性和稳定性的讨论,线性多步法中亚当姆斯方法的构造和讨论。1用改进的欧拉公式,求以下微分方程的数值解(取步长),并与精确解作比较。(改进的尤拉公式的应用)解:原方程可转化为,令,有解此一阶线性微分方程,可得。利用以下公式求在节点处的数值解,其中,初值为。MATLAB程序如下:x(1=0;%初值节点y(1=1;%初值fprintf('x(%d=%f,y(%d=%f,yy(%d=%f\n',1,x(1,1,y(1,1,y(1;fori=1:5yp=y(i+*(y(i-2*x(i/y(i;%预报值yc=y(i+*(yp-2*x(i/yp;%校正值y(i+1=(yp+yc/2;%改进值x(i+1=x(i+;%节点值yy(i+1=sqrt(2*x(i+1+1;%精确解fprintf('x(%d=%f,y(%d=%f,yy(%d=%f\n',i+1,x(i+1,i+1,y(i+1,i+1,yy(i+1;end程序运行的结果如下:x(1=,y(1=,yy(1=(2=,y(2=,yy(2=(3=,y(3=,yy(3=(4=,y(4=,yy(4=(5=,y(5=,yy(5=(6=,y(6=,yy(6=-库塔法求解初值问题,取,,计算过程保留3位小数。(龙格-库塔方法的应用)解:四阶龙格-库塔经典公式为由于,在各点的斜率预报值分别为:四阶经典公式可改写成以下直接的形式:在处,有在处,有注:这两个近似值与精确解在这两点的精确值十分接近。3用梯形方法解初值问题证明其近似解为并证明当时,它收敛于原初值问题的准确解。解:显然,是原初值问题的准确解。求解一般微分方程初值问题的梯形公式的形式为对于该初值问题,其梯形公式的具体形式为,,于是:亦即:注意到:,,令,有从而即:当时,收敛于原初值问题的准确解。4对于初值问题,证明当时,欧拉公式绝对稳定。(显式和隐式欧拉公式的稳定性讨论)证明:显式的欧拉公式为从而,由于,,因此,显式欧拉公式绝对稳定。隐式的欧拉公式为,由于,,因此,隐式的欧拉公式也是绝对稳定的。5证明:梯形公式无条件稳定。(梯形公式的稳定性讨论)解:对于微分方程初值问题其隐式的梯形公式的具体形式可表示为,,从而由,可知,,故隐式的梯形公式无条件稳定。6设有常微分方程的初值问题,试用泰勒展开法,构造线性两步法数值计算公式,使其具有二阶精度,并推导其局部截断误差主项。(局部截断误差和主项的计算)解:假设,,利用泰勒展式,有又欲使其具有尽可能高的局部截断误差,必须,,从而,,于是数值计算公式为。该数值计算公式的局部截断误差的主项为7已知初值问题取步长,利用阿当姆斯公式,求此微分方程在[0,10]上的数值解,求此公式的局部截断误差的首项。(阿当姆斯公式的应用)