常微分方程数值解法.doc

,主要是差分法。解微分方程的所谓差分法的要点如下:首先是区域的离散,即将连续的求解区域离散化成有限个网格点。其次是方程的离散,例如用差商代替微商,或者对微分方程积分使之变成积分方程,然后数值积分,或者……。最后得到网格点上的近似解所满足的一个差分方程,解之即得差分解。:求函数满足()(:,上的函数,和是给定的常数。我们假设对满足Lipschitz条件,即存在常数使得()这一条件保证了()的解是适定的,即存在,唯一,而且连续依赖于初值。通常情况下,()的精确解不可能用简单的解析表达式给出,只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法--差分方法。先来讨论最简单的Euler法。为此,首先将求解区域离散化为若干个离散点:()其中,称为步长。在微积分课程中我们熟知,微商(即导数)是差商的极限。反过来,差商就是微商的近似。在处,在()中用向前差商代替微商,便得如果忽略误差项,再换个记号,用代替便得到一般地,我们有()从(,由上式可以依次算出上的差分解。下面我们用数值积分法重新导出Euler法以及其它几种方法。为此,在区间上积分常微分方程(),得()用各种数值积分公式计算()中的积分,便导致各种不同的差分法。例如,若用左矩形公式就得到Euler法()。如果用右矩形公式,便得到下面的:()类似地,如果用梯形公式,就得到(,不能由()和(,称这一类方法为隐式,通常采用某种迭代法求解。例如,将一般的隐式方法写成(:(。为了避免对隐式方法进行迭代的麻烦,比如说对于改进的Euler方法(),可以采用某种预估法近似算出,然后再用()作校正,这就导致所谓预估校正法。下面给出一个例子:()这是一个多步法,即计算节点上的近似值时,除了用到前一点的近似值之外,还要用到,甚至可能用到。而用前面的各种Euler法计算节点上的近似值时,只用到,因此称之为单步法。下面给出另一个多步法的例子。在区间上积分(),得用Simpson公式(即把被积函数看作二次函数近似计算积分,便得到()用多步法()或()计算时,必须先用某种单步法由计算出,称为造表头。然后再逐次算出。一般说来,多步法比Euler法等简单的单步法精度要高一些。下面我们讨论一类所谓Ronge-Kutta法。他们是单步法,但是其精度可以与多步法比美。最常用的是下面的标准Ronge-Kutta法和Gear法:()(,Ronge-Kutta法可以粗略地解释为:在区间中选取若干个点(可以重复,仅仅利用在区间内可以得到的所有信息,依次给出函数在这些点上尽可能精确的的近似值,然后把它们组合起来,尽可能精确地近似计算()中的积分。Ronge-Kutta法一般的构造方式如下。选定常数,令()选取这些待定常数的原则是:将()在作Taylor展开,然后按照的幂重新整理,使得(