弹性力学简明教程下.doc

Chapter4solutionofplaneproblemsinpolarcoordinates§4-1equationsofequilibriumXYXdθ基本概念求解对象:圆形、扇形、锲形等的平面问题,应用非常普遍前面的讨论都限于在Descartes直角坐标系中,根据物体的形状和边界情况并不是都很方便,例如本章讨论的轴对称的一些问题,他们用极坐标描述就比较方便。本章重点讨论了工程中常见的厚壁筒、曲杆、尖劈等问题,特别是讨论了圆孔附近的应力集中和角及缺口尖端附近的应力和位移的特征。圆周运动:速度:,加速度:,这是高中学过的,如果在直角坐标系下表述不可能这样方便的。然而:XYXXdθdθ比较和,可知:。坐标系及变量自变量,如图所示。与书中所示图大同小异,概念上是一样的。极坐标、柱坐标;自变量:。方向和正负的定义与直角坐标系相同,即以坐标系的正向为正。关注点——:随动坐标,径向对应X,切向对应Y,不同点方向不同,但仍然正交。,:证明::。:。证明:平面问题:(与径向的夹角)微元体:纵向尺寸1或者无穷大;平面则不是矩形而为扇形,意味着径向面积增大,切向方向改变。径向面:切向面:体力(集度):径向平衡方程的推导各面上的力在径向的投影:径向正应力:后一项系面积增大所致。径向剪应力:90度夹角,没有投影切向正应力:这一点明显不同于直角坐标系,此乃角度变化所致。切向剪应力:体力:平衡方程:五项合并并除以微元体面积可得:与直角坐标系比较多处一项切向平衡方程的推导各个面上的力在径向的投影:径向正应力:90度夹角,没有投影径向剪应力:后一项系面积增大所致。切向正应力:切向剪应力:角度变化所致。体力:平衡方程:五项合并并除以微元体面积可得:与直角坐标系比较多出一项力矩平衡方程:一直角坐标系一样,证明了剪应力互等性。合计:三个未知数,两个方程。利用基矢量相互间的关系直接推导平衡方程平面问题:如何理解?——微元体面积和外法向改变。空间问题——按方向推导对于平面问题,则可演化为上式书中的4-1式。如果是轴对称问题,可化为书中式7-15第十一次。§4-2几何方程和物理方程几何方程的相关基本变量坐标系:同上,必须注意角度变化位移(变形):,相当于u,v应变:径向位移产生的应变(APB变至A’P’B’)除纵向拉伸外,必须注意,此位移导致的形状改变和相应其它应变变化。径向应变的定义:单位径向长度的径向变形,故表述简单,与直角坐标一致切向应变的定义;单位切向长度的切向变形:切向变形(拉长):,对应切向长度,故,明显不同于直角坐标系,是发散或角度变化引起的。剪应变定义:单位径向长度和单位切向长度旋转变形之和(转角):径线旋转:相应长度dr,转角:;切线旋转(变锐):增量,相应长度,转角;剪应变:。切向位移产生的应变(APB变至A’P’B’)除切向拉伸外,必须注意,此位移导致的形状改变和相应其它应变变化。径向变形(拉伸):没有,故切向变形:,对应长度,故。形状改变:径线旋转(导致原有直角变锐):拉长,相应长度dr,转角:;切线旋转:直接导致角点切向发生改变,导致原有直角变成,拉长,对应长度r,故导致原有直角变大,因以变小为正,;剪应变:。几何方程合并上述切向位移和径向位移导致的各项变形可得:()直接利用应变的定义和基矢量关系求得平面问题几何方程如何理解?旋转所致,也是面积和角度的改变。上述公式可以作如下的几何解释物理方程由于坐标系正交,物理方程与坐标系选择无关,形式不变。平面应力:,平面应变:边界条件——仍然是两种为主要讨论对象应力边界条件,同直角坐标系,但是面力的表式不完全相同位移边界条件,同直角坐标系多连体情形对于常见的圆环形域或圆筒体,由于它是一个二连通域,所以亦必须在以上方程中补充位移单值性条件。利用后文给出的公式展开可以得到圆环形域的位移单值性条件:式中a为园环的内半径,其中极坐标的极点与圆环的几何中心重合。多孔问题则有表示通过闭合线积分求解后,任意一点的位移不变,式中的下标i表示第i个内孔,n表示内孔数。§4-3极坐标系下的应力函数和相容关系相容关系:由于Laplace算子直接由梯度矢量点乘得来,只要是正交坐标系,那么自身与坐标系的方式并无关系,因此作为的相容方程的Laplace表式,其形式必然保持不变,即应力的应力函数表示:即存在应力的应力函数表示§4-4坐标变换复****与对应(对比§)定义新的正交坐标系,新(极坐标系)旧(直角坐标系)坐标系之间存在关系:通式:据斜面应力计算公式(2-4上下)和斜面应力矢量计算公式(2-3)或,可以直接推出外法向为面上的应力矢