从公理化视角看待自然数及其算术运算.doc

从公理化视角看待自然数及其算术运算[摘要]重温了意大利数学家皮亚诺的自然数公理系统,认真研****并解读了自然数公理化的定义,并在自然数基本定义和公理的基础上,运用数学归纳法,对自然数加法和乘法的基本运算进行了例证,从而探讨皮亚诺自然数公理系统在高中数学教学中的意义.[关键词]自然数算术运算公理化[中图分类号][文献标识码]A[文章编号]16746058(2016)140003人们从最基础的学****开始,直至高中及以后的学****中,,为什么1+1=2,1+2=3,…;1×2=2,2×2=4;…它们是源自于纯粹的实际生产生活的经验,还是建立在数学公理的基础上推演获得的结论呢?一、自然数及其算术运算的产生从人类具有原始的识别事物多寡的“数觉”,到抽象的“数”的概念的形成,“数觉”越来越强烈和明确时,、石子记数、结绳记数和刻痕记数,记数经历了数万年的发展,“1”,,数学家们开始用集合论方法来定义自然数中的0,1,2,3…自然数的算术运算伴随着自然数的产生和人们最原始的实践经验而产生,、自然数公理化系统建立的背景数学的发展并非如原始的感受般那么自然.“数学的发展绝不是一帆风顺的,在更多的情况下是充满犹豫、徘徊,要经历艰难曲折,甚至会面临危机……”随着时代的发展,,无理数2的出现,动摇了古希腊人对世界“万物皆数”的信仰;无穷小量理解的混乱与定义的不严格,使得以其作为根基的微积分理论始终存在瑕疵;,,意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱因等人先后在欧几里得空间中给出了罗巴切夫斯基几何的片段的模型,尤其是法国数学家庞加莱对罗巴切夫斯基几何给出了一个欧氏模型,,可以建立欧几里得几何与实数系模型的对应关系,而通过扩充自然数系,,自然数算术系统是否相容成为数学上层建筑是否稳固的关键,,用康托集合论给出的定义方法,,但无法进行逻辑推演,,意大利数学家皮亚诺撇开集合论的观点,对已有的、,他在《算术原理新方法》中完成了对自然数的公理化处理,给出关于自然数的五条公理,、自然数公理解读及算术运算性质的举例证明自然数的五条公理用非形式化的方法叙述为:(1)0是自然数;(2)每一个确定的自然数a都有一个确定的后继数a′,a′也是自然数;(3)0不是任何自然数