数值计算引论.doc

;、相对误差、有效数字等概念并会求解有关题目;。教学重点及难点重点是绝对误差、相对误差、有效数字等概念的掌握及求解有关题目;难点是有关近似值的绝对误差、相对误差、有效数字等题目的求解。教学时数4学时教学过程§1数值分析研究对象计算方法学科的发展历史及现状简述数值分析的发展历史、现状及特点。二、研究对象及内容简述数值分析的研究对象及内容。§2误差来源及种类模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差简述模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差等概念并举例说明舍入误差的传播对计算结果的影响。例1时,求积分的近似值。解理论上递减且,(a)用公式计算得,说明:出现错误的原因是初始误差被逐渐放大。(b)用公式,得二、简述计算机的存储与四舍五入规则§3误差的基本概念一、(1)设某量的准确值为是经、的近似值,称为的绝对误差(简称误差)。如果称为的绝对误差限,即,在应用上常记为注:绝对误差不是误差的绝对值。,即称为的相对误差,如果,称为的相对误差限。例2设,用四舍五入方法取4位小数得近似数,求绝对误差限。显然有,例3设估计近似数的绝对误差及相对误差。解显然,这两个近似数绝对误差都是,但是一个较好的近似值,而本身就很小,而绝对误差较小不能说明是的一个较好的近似值,两数的相对误差为:%,%。结论:近似数的相对误差是近似数精确度的基本度量,一个近似数的相对误差越小,说明近似数越精确。注:,它没有量纲。。事实上,,但可以确定。二、,为的近似值日表示为(为整数)其中~为中一个数字。如果误差满足即误差不超过某位的半个单位。称该位到的第一位非零数字为的有效数字,即有位有效数字。或者说准确到该位。,则具有位有效数学。设其中,是的按四舍五入原则得到的近似数,则有举例,(1)设按四舍五入原则得到数则具有3位有效数字,具有5位有效数字,且,(2)设且它的近似数为及这两个数写法是有区别的,有5位有效数字,有一位有效数字。注:有效数字的位数不能仅考虑,还要看本身。三、有效数字与相对误差的关系。定理1设近似数为,(其中),如果具有位有效数字,则的相对误差限为证明显然有或于是,x相对误差说明:的有效数字位数越多,的相对误差就越小。定理2设的近似数为如果的相对误差满足,则至少具有位有效数字。证明由于故至少有n位有效数字。说明:的相对误差限越小,的有效数字位数就越多。推论设如果相对误差满足则至少具有n位有效数字。§4求函数值的误差估计设给定多元函数且设为近似值,于是,可求A的近似值,下面估计绝对误差及相对误差。也就是说,由于初始数据有误差,引起计算函数值有误差,考查初始误差对计算结果的影响。,且设都很小,因而可略去高阶项,于是有或(),则相对误差为()因为反映了相对误差对相对误差影响的程度,称这些因子为计算问题的条件数。病态问题:如果问题的数据微小误差,引起结果A很大误差,称这种问题为病态问题或坏