奥数竞赛讲座20-排列、组合、二项式定理.doc

竞赛讲座20-排列、组合、(1)排除:对有限条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况排除,这是解决排列组合题的常用策略.(2)分类与分步有些问题的处理可分成若干类,用加法原理,要注意每两类的交集为空集,所有各类的并集是全集;有些问题的处理分成几个步骤,把各个步骤的方法数相乘,即得总的方法数,这是乘法原理.(3)对称思想:两类情形出现的机会均等,可用总数取半得每种情形的方法数.(4)插空:,然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间.(5)捆绑:把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”,然后与其它“普通元素”全排列,然后再“松绑”,将这些特殊元素在这些位置上全排列.(6)隔板模型:对于将不可辨的球装入可辨的盒子中,求装的方法数,,在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板,把球分成4堆,分别装入4个不同的盒子中的方法数应为,(1)由的个元素中,每次取出个元素排在一个圆环上,叫做一个圆排列(或叫环状排列).(2)圆排列有三个特点:()无头无尾;()按照同一方向转换后仍是同一排列;()两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同,但元素之间的顺序不同,才是不同的圆排列.(3)定理:在的个元素中,每次取出个不同的元素进行圆排列,,,每次取出个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序那么第一、第二、…、第位是的选取元素的方法都是种,所以从个不同的元素中,,有个元素相同,又有个元素相同,…,又有个元素相同(),这个元素全部取的排列叫做不尽相异的个元素的全排列,(1)从个元素,每次取出个元素,允许所取的元素重复出现次的组合叫从个元素取出个有重复的组合.(2)定理:从个元素每次取出个元素有重复的组合数为:.(1)二项式定理().(2)二项开展式共有项.(3)()叫做二项开展式的通项,这是开展式的第项.(4)二项开展式中首末两端等距离的两项的二项式系数相等.(5)如果二项式的幂指数是偶数,则中间一项的二项式系数最大;如果是奇数,则中间两项的二项式系数与最大.(6)二项式开展式中奇数项的二项式系数之和等于偶数项系数之和,,由于结构复杂,多年来在高考中未能充分展示应有的知识地位,而数学竞赛的命题者却对其情有独钟.(1)利用二项式定理判断整除问题:往往需要构造对偶式;(2)处理整除性问题:构造对偶式或利用与递推式的结合;(3)求证不等式:通过二项式展开,取展开式中的若干项进行放缩;(4)综合其他知识解决某些综合问题:有些较复杂的问题看似与二项式定理无关,其实通过观察、分析题目的特征,联想构造合适的二项式模型,,1005,1231有某些共同点,即每个数都是首位为1的四位数,且每个四位数中恰有两个数字相同,这样的四位数共有多少个?