本章简要介绍数值计算方法的研究对象.doc

第一章绪论本章简要介绍数值计算方法的研究对象、内容和特点,讨论浮点数、误差的基本概念,并且提出在数值计算中应当普遍遵循的若干原则。第一节数值计算方法的研究对象和特点随着电子技术的发展和科学研究、生产实践的需要,电子计算机的使用日益广泛。计算机作为科学计算的主要工具越来越不可缺少,因而要求研究适合计算机使用的数值计算方法。为了更具体地说明数值计算方法的研究对象,我们考察用计算机解决科学计算问题的一般过程,可以概括为实际问题→数学模型→计算方法→程序设计→上机计算由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立数学模型这一过程,通常作为应用数学的任务。而根据数学模型提出求解的计算方法直到编出程序上机算出结果,进而对计算结果进行分析,这一过程则是计算数学的任务,也是数值计算方法的研究对象。因此,数值计算方法就是研究用计算机解决数学问题的数值方法及其理论。它的内容包括:误差理论、线性与非线性方程(组)的数值解、矩阵的特征值与特征向量计算、曲线拟合与函数逼近、插值方法、数值积分与数值微分、常微分方程与偏微分方程数值解等。数值计算方法是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程,它既有纯数学的高度抽象性与严密科学性的特点,又有应用广泛性与实际试验的高度技术性的特点。例如,考虑线性方程组的解,在《线性代数》中,只介绍解的存在唯一性及有关理论和精确解法,用这些理论和方法还不能直接在计算机上求解。我们知道,用克莱姆(Cramer)法则求解一个n阶线性方程组,要算个阶行列式,总共需要次乘法,当n充分大时,计算量是相当惊人的。如一个20阶不算太大的方程组大约要做10次乘法,这项计算即使用每秒百亿次的电子计算机去做,也要连续工作数千年才能完成,当然这是完全没有实际意义的。而如果用消元法,求解一个阶线性方程组大约需要次乘法,一个20阶的方程组即使用一台小型计算器也能很快解出来。这一简单的例子告诉我们,能否正确地制定算法,是科学计算成败的关键。另外,要求解这类问题还应根据方程特点,研究适合计算机使用的满足精度要求的,计算时间省的有效算法及其相关理论。在实现这些算法时往往还要根据计算机容量、字长、速度等指标,研究具体求解步骤和程序设计技巧。有的方法在理论上虽不够严密,但通过实际计算,对比分析等手段,证明是行之有效的方法,也应该采用,这些都是数值计算方法应有的特点。概括起来有四点。第一,面向计算机,要根据计算机特点提供实际可行的有效算法,即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运算,是计算机能直接处理的。第二,有可靠的理论分析,能任意逼近并达到精度要求,对近似算法要保证收敛性和数值稳定性,还要对误差进行分析,这些都建立在相应数学理论基础上。第三,要有好的计算复杂性,时间复杂性好是指节省时间,空间复杂性好是指节省存储量,这也是建立算法要研究的问题,它关系到算法能否在计算机上实现。第四,要有数值实验,即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外,还要通过数值试验证明是行之有效的。根据“数值计算”的特点,学****时,首先要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合,要重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论,其次,要通过例子,学****使用各种数值方法解决实际计算问题。本章先对计算机数系和计算的误差作一些初步介绍。第二节浮点数数值计算的工具是电子计算机,计算机的字长和运算方式对数值计算的结果有直接的影响。对给定的数值方法,一个注意到计算机有限字长和运算方式的程序员可以写出具有较高计算精度的程序,反之,也会得到十分粗糙甚至完全失真的计算结果。因此,了解计算机数的表示和运算方式对使用计算机十分必要。一定点数设为大于1的正整数,为中的某一个,位数有限的进制正数可以写成(1)有位整数,有位小数。因为进位制的基数是,所以(2),,,,,称为字长。,,,定点数所能表示的数的范围非常小。值得指出的是,在定点数运算系统中,不仅要求运算操作数在它所能表示的范围内,而且还要求运算结果也在它所能表示的数的范围内,否则会产生溢出。例如,在左边定小数点的定点运算系统中,+=,在16位二进制系统的计算机上计算,利用算法产生下溢出。而利用算法则会得到正确的结果。因此,在编制定点运算程序时,要尽量避免运算结果的上、下溢出,计算次序的选择要十分慎重。二浮点数用于数值计算的计算机多采用浮点系统。因为用浮点方式表示的数有比较大的取值范围,且浮点运算有较高的计算精度,从而为编制程序提供了方便。设是进制数,是进制正负整数或零,进制数可以用和的乘积