例1计算二重积分.doc

例1计算二重积分4、二元函数的极值、最值01极值定义P208,,,,,,fx、y,fx、yfx、y为极大值0000,,,,,,fx、y,fx、yfx、y为极小值0000,fxy,0、,,,x00,,,,fxyxy,、在、有极限值,00,,,fx、y,0y00,驻点极值点,需判别,,,,,,,,,,,,,fx、y,Afx、y,Bfx、y,C设、、xx00xy00yy002,,fx、yB,AC00A<0极大值<0A>0极小值非极值>0不定=033例1、求的极值z,x,y,3xy22,,,,f,3y,3x解:,,,f,3x,3yf,6xyxxx,,,,f,,3,f,6yxyyy2,f,0y,0,,3x,3y,0x4令y,y,0,,,,2,f,0y,13y,3x,0y,,,,,,得驻点0,0,1,122,,0,0在,,,B,AC,,3,0,9,0,,0,0,,f0,0?非极值22,,1,1,,,B,AC,,3,36,0,,1,1,,1,1?为极值点A,6,0,,f1,1,,1又?为极小值,,1,12y,0例2、求在闭区域D:,,x,0,,z,xy5,x,yx,y,4的最大,最小值。2,,,,解:,f,x5,x,2y,,f,xy10,3x,2yyx5,x,,2xy10,3x,2y,0,,,,令(在D内),,2,,x5,x,2y,0,,5y,,4,55625,,55,,在D的内部函数只有一个驻点,f,,,,,,,246424,,,,y,0在边界,在,x,0f,0f,02223x,y,4在,,,,,,,z,x4,x5,x,4,x,x4,x,4x,x884dz2x,x,得:,即,y,为驻点,8x,3x,0333dx,,84256625256比较,,z,z,0z,z,,,,,,64273327,,625得最大值,最小值z,z,064在实际问题中要求最大,最小值往往带有附加条件,即对函数的自变量除了限制在函数的定义域内外,还有其他的附加条件,这些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示。,,,x,y,0例3、求原点到曲线的最大距离22z,x,y,,,x,y,0此题即在条件下求的最小值问题02条件极值、拉格朗日乘数法在实际问题中可根据题意来确定最值而不需判别求在条件,,下,,,的极值,x,y,0z,fx,y令,,,,称,,为目标函数,为拉格朗日常数F,fx,y,,,x,yfx,y,,F,0,x,,解得的,,为可能的极值点x,yF,0,y,,F,0,,22x,y,4z,1例1、求曲面到平面的最短距离4z,3x,2xy,3yx,y,4z,1d,解法一、曲面上任一点(x,y,z)到平面的距离181222?设,,,,F,x,y,4z,1,,3x,2xy,3y,4z2,,,,,,,,Fxy4z16x2y0,,,x,1F,x,y,4z,1,,6y,2x,0,,y,x,y,,4,得:,,,,,,,,,,F4xy4z140z1,z,22,F,3x,2xy,3y,4z,016,,,2d,?驻点唯一?min8,解法二、曲面在任一点的切平面法矢量,,n,6x,2y,6y,2x,,4,平面x+y-4z=1的法矢量,,n,1,1,,416x,2y6y,2x,4,,n,,当?时,即n111,411z,x,y,得:,164111?在点处切平面平行已知平面(,,)44162111d,?点到平面距离最短,